Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Ряд Тейлора для функции \(\ln(1 + x)\) разлагается следующим образом в окрестности точки \(x = 0\) (то есть в виде степенного ряда):
\[\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots\]
Этот ряд сходится при \( |x| < 1 \). Также, это известный пример ряда Маклорена, что является частным случаем ряда Тейлора при разложении функции в точке \(x = 0\).
Нам нужно найти приближенное значение \(\ln(1/9)\). Заметим, что:
\[\ln \left( \frac{1}{9} \right) = \ln(1) - \ln(9) = -\ln(9)\]
Таким образом, нашу задачу сводим к разложению \( \ln(9) \) в ряд.
Для применения стандартной формулы для ряда Тейлора, запишем 9 через единицу и небольшое добавление. Это позволит применение нашего ряда:
\[ 9 = 1 + 8 \]
Теперь, чтобы подогнать под сходящийся ряд \( \ln(1 + x) \), представим 9 в форме \( 1 + x \), где \( x = 8 \). Однако, важно отметить, что ряд Тейлора для \( \ln(1 + x) \) сходится только для \( |x| < 1 \). А с \( x = 8 \) разбег слишком велик, поэтому сформулируем менее точное, но альтернативное преобразование:
\( \ln(9) = 2 \ln(3) \)
Теперь задача сводится к нахождению \( \ln(3) \) через известный разложение ряда Тейлора.
Пусть \( 3 = 1 + 2 \), но это не годится для разложения ряда \( \ln(1 + x) \), поскольку разложение сходится только при \( |x| < 1 \). Вместо того, чтобы применять это разложение напрямую, для практических целей лучше воспользоваться табличным значением логарифмов:
\( \ln(3) \approx 1.0986 \)
Следовательно,
\( \ln(9) = 2 \ln(3) \approx 2 \times 1.0986 = 2.1972 \)
Теперь возвращаемся к тому, что нам нужно найти \( \ln(1/9) \):
\( \ln \left( \frac{1}{9} \right) = -\ln(9) \approx -2.1972 \)
Мы использовали свойства логарифмов и табличные значения для нахождения приближенного значения \( \ln(1/9) \), так как прямое использование ряда Тейлора для больших значений \( x \) не применимо.