Решить. Радиус сходимости некоторого степенного ряда равен R=5, тогда интервал сходимости имеет вид

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, Ряды и последовательности

Задание: Решить задачу:

радиус сходимости некоторого степенного ряда равен \( R = 5 \). Найти интервал сходимости данного ряда.

Пояснение и решение:

Степенной ряд обычно записывается в следующей форме:

\[ \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x - x_0)^n \]

где:

• \( c_n \) — коэффициенты ряда,
• \( x_0 \) — центр ряда,
• \( x \) — переменная.

Радиус сходимости \( R \) определяет, на каком интервале значений \( x \) данный ряд будет сходиться. Этот радиус сходимости можно вычислить с использованием критерия Коши-Адамара или применением признаков сходимости, но в задаче нас уже уведомили о том, что радиус сходимости \( R = 5 \), поэтому нам остается только определить сам интервал.

Свойства радиуса сходимости:

1. Внутри радиуса сходимости \( R \) ряд сходится абсолютно.
2. За пределами радиуса (то есть, \( |x - x_0| > R \)) ряд расходится.
3. Границы \( x = x_0 - R \) и \( x = x_0 + R \) нужно проверять отдельно, чтобы увидеть, сходится ли ряд на этих концах или нет.

Для данной задачи:

• Центр ряда \( x_0 \) по умолчанию считается равным нулю (если не указано иное).
• Радиус сходимости \( R = 5 \) соответствует тому, что ряд сходится, когда \( |x - 0| < 5 \), то есть \( |x| < 5 \). Это означает, что ряд сходится в интервале:

\[ -5 < x < 5 \]

Теперь нужно проверить, что происходит на границах интервала \( x = -5 \) и \( x = 5 \). Однако в задаче ничего не сказано о том, как ведет себя ряд на этих граничных точках, так как это зависит от конкретного вида ряда (вид коэффициентов \( c_n \)). Поэтому мы пока делаем вывод, что:

• Открытый интервал сходимости данного степенного ряда (без учета концов) — это \( (-5, 5) \).

Окончательный ответ:

Интервал сходимости имеет вид:

\[ (-5, 5) \]

Если бы были даны дополнительные сведения о поведении ряда на границах, интервал мог бы включать одну или обе граничные точки, но в данном случае мы ограничиваемся открытым интервалом.