Решить матрицу

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Операции с матрицами

Перед нами задача, в которой необходимо найти результат выражения \( D = (AB)^T - C^2 + C^0 \).

Дано:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 3 & 4 & 9 \end{pmatrix} \]

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \]

\[ C = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 9 & 13 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Нахождение произведения матриц \( AB \)

Сначала перемножим матрицы \( A \) и \( B \). При умножении матриц результатом будет новая матрица \( AB \), элементы которой будут расчетом суммы произведений соответствующих строк и столбцов исходных матриц.

\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 3 & 4 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \]

Элемент (1,1): \[ 1*1 + 0*1 + 5*0 = 1 \]

Элемент (1,2): \[ 1*2 + 0*0 + 5*5 = 27 \]

Элемент (2,1): \[ 3*1 + 4*1 + 9*0 = 7 \]

Элемент (2,2): \[ 3*2 + 4*0 + 9*5 = 51 \]

Таким образом, \( AB \) будет равно:

\[ AB = \begin{pmatrix} 1 & 27 \\ 7 & 51 \end{pmatrix} \]

Шаг 2: Нахождение транспонированной матрицы \( (AB)^T \)

Транспонирование матрицы заключается в замене строк столбцами.

\[ (AB)^T = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 27 & 51 \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Нахождение квадрата матрицы \( C^2 \)

Для этого умножим матрицу \( C \) на себя:

\[ C^2 = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 9 & 13 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 9 & 13 \end{pmatrix} \]

Элемент (1,1): \[ 10*10 + 4*9 = 136 \]

Элемент (1,2): \[ 10*4 + 4*13 = 92 \]

Элемент (2,1): \[ 9*10 + 13*9 = 207 \]

Элемент (2,2): \[ 9*4 + 13*13 = 205 \]

Таким образом, \( C^2 \) будет равно:

\[ C^2 = \begin{pmatrix} 136 & 92 \\ 207 & 205 \end{pmatrix} \]

Шаг 4: Нахождение \( C^0 \)

Любая матрица в степени ноль равна единичной матрице соответствующего размера:

\[ C^0 = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Шаг 5: Нахождение \( D \)

Теперь можем сосчитать \( D = (AB)^T - C^2 + C^0 \):

\[ D = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 27 & 51 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 136 & 92 \\ 207 & 205 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Выполним матричное сложение и вычитание поэлементно:

\[ D = \begin{pmatrix} 1 & 7 \\ 27 & 51 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 136 & 92 \\ 207 & 205 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 136 + 1 & 7 - 92 + 0 \\ 27 - 207 + 0 & 51 - 205 + 1 \end{pmatrix} \]

Посчитаем:

\[ D = \begin{pmatrix} -134 & -85 \\ -180 & -153 \end{pmatrix} \]

Итак, результатом будет:

\[ D = \begin{pmatrix} -134 & -85 \\ -180 & -153 \end{pmatrix} \]