Решить матрицу

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Операции с матрицами

Перед нами задача, в которой необходимо найти результат выражения $\text{(}D=(AB{)}^T-C^2+C^0\text{)}$.

Дано:

$\text{[}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 5\\ 3& 4& 9\end{array}\right)\text{]}$

$\text{[}B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\\ 0& 5\end{array}\right)\text{]}$

$\text{[}C=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 9& 13\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 1: Нахождение произведения матриц $\text{(}AB\text{)}$

Сначала перемножим матрицы $\text{(}A\text{)}$ и $\text{(}B\text{)}$. При умножении матриц результатом будет новая матрица $\text{(}AB\text{)}$, элементы которой будут расчетом суммы произведений соответствующих строк и столбцов исходных матриц.

$\text{[}AB=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 5\\ 3& 4& 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\\ 0& 5\end{array}\right)\text{]}$

Элемент (1,1): $\text{[}1\ast 1+0\ast 1+5\ast 0=1\text{]}$

Элемент (1,2): $\text{[}1\ast 2+0\ast 0+5\ast 5=27\text{]}$

Элемент (2,1): $\text{[}3\ast 1+4\ast 1+9\ast 0=7\text{]}$

Элемент (2,2): $\text{[}3\ast 2+4\ast 0+9\ast 5=51\text{]}$

Таким образом, $\text{(}AB\text{)}$ будет равно:

$\text{[}AB=\left(\begin{array}{cc}1& 27\\ 7& 51\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 2: Нахождение транспонированной матрицы $\text{(}(AB{)}^T\text{)}$

Транспонирование матрицы заключается в замене строк столбцами.

$\text{[}(AB{)}^T=\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 27& 51\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 3: Нахождение квадрата матрицы $\text{(}{C}^2\text{)}$

Для этого умножим матрицу $\text{(}C\text{)}$ на себя:

$\text{[}{C}^2=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 9& 13\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 9& 13\end{array}\right)\text{]}$

Элемент (1,1): $\text{[}10\ast 10+4\ast 9=136\text{]}$

Элемент (1,2): $\text{[}10\ast 4+4\ast 13=92\text{]}$

Элемент (2,1): $\text{[}9\ast 10+13\ast 9=207\text{]}$

Элемент (2,2): $\text{[}9\ast 4+13\ast 13=205\text{]}$

Таким образом, $\text{(}{C}^2\text{)}$ будет равно:

$\text{[}{C}^2=\left(\begin{array}{cc}136& 92\\ 207& 205\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 4: Нахождение $\text{(}{C}^0\text{)}$

Любая матрица в степени ноль равна единичной матрице соответствующего размера:

$\text{[}{C}^0=I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{]}$

Шаг 5: Нахождение $\text{(}D\text{)}$

Теперь можем сосчитать $\text{(}D=(AB{)}^T-C^2+C^0\text{)}$:

$\text{[}D=\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 27& 51\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}136& 92\\ 207& 205\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{]}$

Выполним матричное сложение и вычитание поэлементно:

$\text{[}D=\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 27& 51\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}136& 92\\ 207& 205\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-136+1& 7-92+0\\ 27-207+0& 51-205+1\end{array}\right)\text{]}$

Посчитаем:

$\text{[}D=\left(\begin{array}{cc}-134& -85\\ -180& -153\end{array}\right)\text{]}$

Итак, результатом будет:

$\text{[}D=\left(\begin{array}{cc}-134& -85\\ -180& -153\end{array}\right)\text{]}$