Решение исчисления методом анализа поведения сумм ряда и оценок сходимости

Эта задача относится к предмету математики, а именно к разделу интегрального и дифференциального исчисления (инфинитезимальная математика).

На изображении представлена сумма ряда вида \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \). Для решения этой задачи можно использовать методы анализа поведения сумм ряда и оценок сходимости.

1. Рассмотрим асимптотику поведения функции при больших \( n \): Заметим, что \( \frac{\pi}{n} \) становится маленьким когда \( n \) велико, следовательно можно использовать разложение синуса: \[\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \frac{\pi}{n}\]
2. Подставим это приближение в исходный ряд: \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot \frac{\pi}{n} = \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\]
3. Теперь вспомним, что \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \). Это известный результат для ряда, называемого рядом Бассу. Подставляем значение: \[\pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \pi \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^3}{6}\] Таким образом, значение данного ряда будет равно \( \frac{\pi^3}{6} \).

Ответ: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{\pi^3}{6} \).