Решение геометрической прогрессии

Данный пример относится к области математики, а именно к теме геометрических прогрессий. Давайте рассмотрим данный пример подробно. Мы видим выражение: \( S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^{n-1}} \).

1. Определим первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
   • Первый член (a1) можно найти, подставив \( n = 1 \) в формулу: \[ a1 = \frac{1}{4^{1-1}} = \frac{1}{4^0} = 1 \]
   • Знаменатель (q) прогрессии определяется как отношение каждого следующего члена к предыдущему: \[ q = \frac{a2}{a1} \]
   • Подставим \( n = 2 \) чтобы найти \( a2 \): \[ a2 = \frac{1}{4^{2-1}} = \frac{1}{4} \]
   • Найдём знаменатель: \[ q = \frac{a2}{a1} = \frac{\frac{1}{4}}{1} = \frac{1}{4} \]
2. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

   Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется формулой: \[ S = \frac{a1}{1 - q} \]

   Подставим найденные значения: \[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{1 - 0.25} = \frac{1}{0.75} = \frac{4}{3} \]

   Таким образом, сумма заданной бесконечной геометрической прогрессии равна: \[ S = \frac{4}{3} \]