Разложите в ряд по степеням х функцию

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (ряды Тейлора).

Задание:

Разложить функцию \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \) в ряд по степеням \(x\).

Разбирательство и решение:

Для разложения функции в ряд Тейлора мы представим функцию \( f(x) \) в форме, удобной для разложения. Начнем.

1. Подготовка функции к разложению

Функция \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \) записана в форме квадратного корня. Для дальнейшего разложения будем использовать форму: \[ f(x) = \sqrt{4 + x^2}. \]

2. Преобразование к удобной записи

Вынесем \(4\) из-под корня: \[ f(x) = \sqrt{4(1 + \frac{x^2}{4})} = 2\sqrt{1 + \frac{x^2}{4}}. \]

Теперь разложим выражение \(\sqrt{1 + \frac{x^2}{4}}\) в ряд Тейлора по степеням \(x\). Здесь удобно применить ряд для \((1 + u)^p\), где: \[ (1 + u)^p = 1 + pu + \frac{p(p-1)}{2!}u^2 + \frac{p(p-1)(p-2)}{3!}u^3 + \ldots, \] если \(|u| < 1\).

Для \(\sqrt{1 + \frac{x^2}{4}} = (1 + \frac{x^2}{4})^{1/2}\) у нас \(p = \frac{1}{2}\) и \(u = \frac{x^2}{4}\).

3. Разложение в ряд

Подставим значения \(p = \frac{1}{2}\) и \(u = \frac{x^2}{4}\) в общий вид ряда: \[ \sqrt{1 + \frac{x^2}{4}} = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{4} + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)}{2!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2)}{3!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^3 + \ldots \]

1. Первый член: \(1\).
2. Второй член: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{8}. \]
3. Третий член: \[ \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)}{2!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})}{2} \cdot \frac{x^4}{16} = -\frac{1}{64}x^4. \]
4. Четвертый член: \[ \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2} - 1)(\frac{1}{2} - 2)}{3!} \left(\frac{x^2}{4}\right)^3 = \frac{\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{6} \cdot \frac{x^6}{64} = \frac{3}{512}x^6. \]

4. Умножение на \(2\)

Теперь домножим разложение на \(2\), чтобы получить разложение \(f(x)\): \[ f(x) = 2 \left( 1 + \frac{x^2}{8} - \frac{x^4}{64} + \frac{3x^6}{512} + \ldots \right). \]

Результат: \[ f(x) = 2 + \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{32} + \frac{3x^6}{256} + \ldots \]

Ответ:

Разложение функции \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \) в ряд по степеням \(x\): \[ f(x) = 2 + \frac{x^2}{4} - \frac{x^4}{32} + \frac{3x^6}{256} + \ldots \]

Упростим первые несколько членов ряда: