Разложите функцию 1/(2 + x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 = 1

Это задание относится к предмету "математический анализ", раздел "ряды Тейлора".

Рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{2 + x} \). Необходимо разложить эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки \( x_0 = 1 \). Ряд Тейлора функции \( f(x) \) в окрестности точки \( x_0 \) записывается в виде: \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3 + \ldots \] Для начала найдём производные функции \( f(x) \).

• Первая производная: \[ f(x) = \frac{1}{2 + x} \] \[ f'(x) = -\frac{1}{(2 + x)^2} \]
• Вторая производная: \[ f''(x) = \frac{2}{(2 + x)^3} \]
• Третья производная: \[ f'''(x) = -\frac{6}{(2 + x)^4} \]

Теперь подставим \( x_0 = 1 \) в функцию и её производные:

1. \( f(1) = \frac{1}{2 + 1} = \frac{1}{3} \)
2. \( f'(1) = -\frac{1}{(2 + 1)^2} = -\frac{1}{9} \)
3. \( f''(1) = \frac{2}{(2 + 1)^3} = \frac{2}{27} \)
4. \( f'''(1) = -\frac{6}{(2 + 1)^4} = -\frac{6}{81} = -\frac{2}{27} \)

Теперь соберём ряд Тейлора: \[ f(x) = \frac{1}{3} + \left( -\frac{1}{9} \right)(x - 1) + \frac{1}{2!}\left( \frac{2}{27} \right)(x - 1)^2 + \frac{1}{3!}\left( -\frac{2}{27} \right)(x - 1)^3 + \ldots \] Приведём выражение к более удобному виду: \[ f(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{9}(x - 1) + \frac{1}{27}\frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{1}{27}\frac{1}{3}(x - 1)^3 + \ldots \] \[ f(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{9}(x - 1) + \frac{1}{54}(x - 1)^2 - \frac{1}{81}(x - 1)^3 + \ldots \] Таким образом, разложение функции \( f(x) = \frac{1}{2 + x} \) в ряд Тейлора в окрестности точки \( x_0 = 1 \) выглядит следующим образом: \[ f(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{9}(x - 1) + \frac{1}{54}(x - 1)^2 - \frac{1}{81}(x - 1)^3 + \ldots \]