Разложить в тригонометрический ряд Фурье с периодом

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, ряды Фурье

Функция \(\ y = \left| \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right| \), определенная на интервале \(\ ]-\pi, +\pi[ \), требуется разложить в тригонометрический ряд Фурье с периодом \(\ 2\pi \).

1. Общий вид ряда Фурье

Функция \(\ f(x) \) с периодом \(\ 2\pi \) может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье по формуле:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]

где коэффициенты \(\ a_0 \), \(\ a_n \) и \(\ b_n \) вычисляются по следующим формулам:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \]

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]

2. Вычисление коэффициента \(\ a_0 \)

Для начала найдем коэффициент \(\ a_0 \), который соответствует базовому уровню разложения.

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left| \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right| \, dx \]

Функция \(\ f(x) = \left| \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right| \) — кусочная линейная и симметричная относительно оси \(\ y \), так что удобнее интегрировать ее по частям. Разобьем интеграл на два участка:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \, dx + \int_{0}^{\pi} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \, dx \right) \]

При дальнейшем вычислении получаем:

\[ a_0 = \frac{\pi}{4} \]

3. Вычисление коэффициентов \(\ a_n \)

Теперь вычислим \(\ a_n \) для косинусных членов:

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left| \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right| \cos(nx) \, dx \]

Так как функция четная, интеграл для \(\ b_n \) (который отвечает за синусные коэффициенты) обнулится. То есть:

\[ b_n = 0 \quad \forall n \]

Далее используем кусочную линейность функции и разрушаем интеграл для каждого конкретного \( n \).