Разложить в тригонометрический ряд Фурье с периодом

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, ряды Фурье

Функция $\text{(}y=|\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}|\text{)}$, определенная на интервале $\text{(}]-\pi ,+\pi [\text{)}$, требуется разложить в тригонометрический ряд Фурье с периодом $\text{(}2\pi \text{)}$.

1. Общий вид ряда Фурье

Функция $\text{(}f(x)\text{)}$ с периодом $\text{(}2\pi \text{)}$ может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье по формуле:

$\text{[}f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx))\text{]}$

где коэффициенты $\text{(}{a}_0\text{)}$, $\text{(}{a}_n\text{)}$ и $\text{(}{b}_n\text{)}$ вычисляются по следующим формулам:

$\text{[}{a}_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx\text{]}$

$\text{[}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx\text{]}$

$\text{[}{b}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx\text{]}$

2. Вычисление коэффициента $\text{(}{a}_0\text{)}$

Для начала найдем коэффициент $\text{(}{a}_0\text{)}$, который соответствует базовому уровню разложения.

$\text{[}{a}_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}|dx\text{]}$

Функция $\text{(}f(x)=|\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}|\text{)}$ — кусочная линейная и симметричная относительно оси $\text{(}y\text{)}$, так что удобнее интегрировать ее по частям. Разобьем интеграл на два участка:

$\text{[}{a}_0=\frac{1}{\pi }({\int }_{-\pi }^0(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})dx+{\int }_0^{\pi }(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2})dx)\text{]}$

При дальнейшем вычислении получаем:

$\text{[}{a}_0=\frac{\pi }{4}\text{]}$

3. Вычисление коэффициентов $\text{(}{a}_n\text{)}$

Теперь вычислим $\text{(}{a}_n\text{)}$ для косинусных членов:

$\text{[}{a}_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}|\cos (nx)dx\text{]}$

Так как функция четная, интеграл для $\text{(}{b}_n\text{)}$ (который отвечает за синусные коэффициенты) обнулится. То есть:

$\text{[}{b}_n=0\mathrm{\forall }n\text{]}$

Далее используем кусочную линейность функции и разрушаем интеграл для каждого конкретного $\text{(}n\text{)}$.