Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Функция \(\ y = \left| \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right| \), определенная на интервале \(\ ]-\pi, +\pi[ \), требуется разложить в тригонометрический ряд Фурье с периодом \(\ 2\pi \).
Функция \(\ f(x) \) с периодом \(\ 2\pi \) может быть разложена в тригонометрический ряд Фурье по формуле:
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]
где коэффициенты \(\ a_0 \), \(\ a_n \) и \(\ b_n \) вычисляются по следующим формулам:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]
Для начала найдем коэффициент \(\ a_0 \), который соответствует базовому уровню разложения.
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left| \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right| \, dx \]
Функция \(\ f(x) = \left| \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right| \) — кусочная линейная и симметричная относительно оси \(\ y \), так что удобнее интегрировать ее по частям. Разобьем интеграл на два участка:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \, dx + \int_{0}^{\pi} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \, dx \right) \]
При дальнейшем вычислении получаем:
\[ a_0 = \frac{\pi}{4} \]
Теперь вычислим \(\ a_n \) для косинусных членов:
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left| \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right| \cos(nx) \, dx \]
Так как функция четная, интеграл для \(\ b_n \) (который отвечает за синусные коэффициенты) обнулится. То есть:
\[ b_n = 0 \quad \forall n \]
Далее используем кусочную линейность функции и разрушаем интеграл для каждого конкретного \( n \).