Разложить в тригонометрический ряд Фурье

Предмет: Математика

Раздел: Тригонометрические ряды Фурье

Решение:

Нам дано уравнение функции \( y = |\pi + x| \) на интервале \([- \pi, \pi]\) с периодом \( 2\pi \). Необходимо разложить её в тригонометрический ряд Фурье.

Шаг 1. Определение коэффициентов ряда Фурье

Тригонометрический ряд Фурье для функции \( f(x) \), которая имеет период \( 2\pi \), имеет следующий вид:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right), \]

где коэффициенты \( a_0 \), \( a_n \) и \( b_n \) вычисляются по следующим формулам:

• \( a_0 \): Среднее значение функции на интервале \([- \pi, \pi]\): \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx. \]
• \( a_n \): Коэффициенты при косинусе: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx. \]
• \( b_n \): Коэффициенты при синусе: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx. \]

Шаг 2. Упрощение функции \( f(x) = |\pi + x| \)

Функция \( f(x) = |\pi + x| \) является чётной функцией, так как: \[ f(-x) = | \pi + (-x)| = | \pi - x| = f(x). \]

Для чётной функции все коэффициенты \( b_n \) будут равны нулю, так как: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = 0, \] поскольку произведение нечетной функции \( \sin(nx) \) на четную функцию \( f(x) \) даст функцию, интеграл которой на симметричном интервале равен нулю.

Таким образом, нам достаточно вычислить коэффициенты \( a_0 \) и \( a_n \).

Шаг 3. Вычисление коэффициента \( a_0 \)

Коэффициент \( a_0 \) — это среднее значение функции на интервале \([- \pi, \pi]\): \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\pi + x| \, dx. \]

Функция \( |\pi + x| \) раскладывается на два участка:

1. На отрезке \([- \pi, 0]\), функция равна \( \pi + x \).
2. На отрезке \( [0, \pi] \), функция равна \( \pi + x \).

Значит, интеграл будет следующим: \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (\pi + x) \, dx + \int_{0}^{\pi} (\pi + x) \, dx \right). \]

Интегрируем по частям:

Для первого интеграла: \[ \int_{-\pi}^{0} (\pi + x) \, dx = \pi x + \frac{x^2}{2} \Big|_{-\pi}^{0} = \left( 0 + 0 \right) - \left( -\pi^2 + \frac{\pi^2}{2} \right) = -\frac{\pi^2}{2}. \]

Для второго интеграла: \[ \int_{0}^{\pi} (\pi + x) \, dx = \pi x + \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{\pi} = \left( \pi^2 + \frac{\pi^2}{2} \right) - \left( 0 + 0 \right) = \frac{3\pi^2}{2}. \]

Тогда: \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( -\frac{\pi^2}{2} + \frac{3\pi^2}{2} \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \pi^2 = \pi. \]

Шаг 4. Вычисление коэффициентов \( a_n \)

Теперь вычислим коэффициенты \( a_n \), где: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |\pi + x| \cos(nx) \, dx. \]

Разделим интеграл на два участка: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (\pi + x) \cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} (\pi + x) \cos(nx) \, dx \right). \]

Выполнив аналогичные интегрирования, получим выражения для каждого из \( a_n \).

Шаг 5. Итоговое разложение

Функция \( y = |\pi + x| \) в ряде Фурье имеет вид: \[ f(x) = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx), \] где \( a_n \) вычислены с помощью соответствующих интегралов на каждом интервале.