Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки

Условие:

Решение:

На изображении представлен текст на русском языке с заданием по математике: "Задание 9. Разложить в ряд Тейлора функцию \( y = \frac{3}{2x-1} \), в окрестности точки \( x_0 = -1 \)." Чтобы разложить данную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки \( x_0 = -1 \), нам нужно записать эту функцию в более удобном виде для разложения, сделав замену переменной \( t = x - x_0 = x + 1 \), так что \( x = t - 1 \). Тогда функция примет вид: \[ y = \frac{3}{2(t-1)-1} = \frac{3}{2t-3} = \frac{-3}{3-2t} \] Отсюда мы можем видеть, что функция обладает точкой разрыва второго рода при \( t = 1.5 \) (где \( x_0 = -1 \)), и можно попытаться представить её в виде ряда Тейлора в точке \( t = 0 \) (что соответствует исходной точке \( x = -1 \)). Сначала приведем функцию к виду, удобному для разложения в ряд Тейлора: \[ y = -3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-\frac{2}{3}t} \] Теперь можно использовать стандартный ряд геометрической прогрессии: \[ \frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+z^3+\dots \] Если подставить \( z = \frac{2}{3}t \), то получим следующее: \[ y = -\frac{1}{1-\frac{2}{3}t} = -\left(1 + \frac{2}{3}t + \left(\frac{2}{3}t\right)^2 + \left(\frac{2}{3}t\right)^3 + \dots \right) \] Теперь каждое слагаемое этого ряда будем умножать на -3, чтобы получить искомое разложение функции \( y = \frac{3}{2x-1} \) в ряд Тейлора: \[ y = 3 - 2t - \frac{4}{3}t^2 - \frac{8}{9}t^3 - \dots \] Обратите внимание, что такой ряд будет сходиться при \( |t| < \frac{3}{2} \), что в исходных переменных соответствует \( |x + 1| < \frac{3}{2} \), т.е. когда \( -\frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \).