Разложить в ряд тейлора функцию интеграл от 0 до z e^(z)^2dz

Определение предмета:

Данное задание относится к предмету математический анализ, конкретно к разделу ряды Тейлора и рядовые разложения функций.

Задание:

Нам нужно разложить в ряд Тейлора функцию \( f(z) = \int_0^z e^{x^2} \, dx \).

Шаг 1. Анализ функции

Функция, которая дана, это интеграл от 0 до \( z \) экспоненты \( e^{x^2} \). Чтобы разложить функцию в ряд Тейлора, мы могли бы попробовать разложить подынтегральную функцию в ряд Тейлора, а затем проинтегрировать полученный ряд.

Шаг 2. Разложение экспоненциальной функции

Сначала известно, что стандартное разложение функции \( e^x \) в ряд Тейлора вокруг нуля выглядит следующим образом:

\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}. \]

Теперь разложим функцию \( e^{x^2} \), которая является экспонентой от \( x^2 \). Разложение будет выглядеть так:

\[ e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}. \]

Шаг 3. Интегрирование по \( x \)

Теперь мы можем интегрировать это разложение по \( x \) на интервале от 0 до \( z \). Интегрируем каждый член ряда:

\[ f(z) = \int_0^z e^{x^2} \, dx = \int_0^z \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} \, dx. \]

Поскольку интеграл линейный, мы можем интегрировать каждый член ряда по отдельности:

\[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_0^z x^{2n} \, dx. \]

Теперь вычислим интегралы:

\[ \int_0^z x^{2n} \, dx = \frac{z^{2n+1}}{2n+1}. \]

Таким образом, разложение в ряд Тейлора функции \( f(z) \) будет иметь вид:

Шаг 4. Ответ

Итак, разложение функции \( f(z) = \int_0^z e^{x^2} \, dx \) в ряд Тейлора выглядит следующим образом:

\[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)n!}. \]