Разложить в ряд Тейлора функцию

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды Тейлора, комплексные функции)

Задача: Разложить в ряд Тейлора функцию \( \ln(z - 1) \).

Шаг 1: Вспомним формулу для ряда Тейлора

Ряд Тейлора функции \( f(z) \) вокруг точки \( z_0 \) — это степенной ряд, задаваемый формулой:

\[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} (z-z_0)^n \]

Где:

• \( f^{(n)}(z_0) \) — это \( n \)-я производная функции \( f(z) \), вычисленная в точке \( z_0 \).
• \( z_0 \) — это точка вокруг которой раскладывается функция.

Шаг 2: Установим точку разложения

Для функции \( \ln(z - 1) \) стандартным (наиболее удобным) выбором является точка разложения \( z_0 = 1 \), поскольку это значение обращает log во что-то простое (\( \ln(z-1) = 0 \), когда \( z = 1 \)).

Теперь запишем функцию с более удобной заменой:

\[ \ln(z - 1) = \ln(1 + (z - 1) - 1) = \ln(1 + (z - 1)) \]

Для функции \( \ln(1 + w) \), где \( w = z - 1 \), мы знаем, что её разложение в окрестности точки \( w=0 \) имеет вид:

\[ \ln(1 + w) = w - \frac{w^2}{2} + \frac{w^3}{3} - \frac{w^4}{4} + \dots \]

Шаг 3: Запишем ответ

В данном случае \( w = z - 1 \), поэтому разложение в ряд Тейлора функции \( \ln(z - 1) \) можно записать как:

\[ \ln(z - 1) = (z - 1) - \frac{(z - 1)^2}{2} + \frac{(z - 1)^3}{3} - \frac{(z - 1)^4}{4} + \dots \]

\[ \ln(z - 1) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(z - 1)^n}{n} \]

Область сходимости

Это разложение справедливо для \( |z - 1| < 1 \), так как данный ряд является частным случаем степенного разложения для функции логарифма, и его радиус сходимости определяется по этому условию.

Итог:

Разложение функции \( \ln(z - 1) \) в ряд Тейлора в окрестности точки \( z = 1 \) выглядит следующим образом:

\[ \ln(z - 1) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(z - 1)^n}{n}. \]

Или в более общем виде: