Разложить в ряд Маклорена, указать область сходимости

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (Ряды Тейлора и Маклорена)

Задание: Разложить функцию \( \sin^2(2x) \) в ряд Маклорена и указать область сходимости.

Шаг 1: Используем тригонометрические тождества

Сначала упростим выражение \( \sin^2(2x) \) с помощью известного тригонометрического тождества:

\[ \sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \]

Применяем это тождество к \( \sin^2(2x) \), где \( \theta = 2x \):

\[ \sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2} \]

Шаг 2: Ряд Маклорена для \( \cos(4x) \)

Теперь разложим \( \cos(4x) \) в ряд Маклорена. Помним, что ряд Маклорена для функции \( \cos(x) \) имеет следующий вид:

\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]

Для \( \cos(4x) \) в этом ряде нужно заменить \( x \) на \( 4x \):

\[ \cos(4x) = 1 - \frac{(4x)^2}{2!} + \frac{(4x)^4}{4!} - \frac{(4x)^6}{6!} + \dots \]

\[ \cos(4x) = 1 - \frac{16x^2}{2!} + \frac{256x^4}{4!} - \frac{4096x^6}{6!} + \dots \]

Шаг 3: Разложение для \( \sin^2(2x) \)

Теперь подставим разложение \( \cos(4x) \) в выражение для \( \sin^2(2x) \):

\[ \sin^2(2x) = \frac{1 - \left( 1 - \frac{16x^2}{2!} + \frac{256x^4}{4!} - \dots \right)}{2} \]

Упрощаем:

\[ \sin^2(2x) = \frac{1 - 1 + \frac{16x^2}{2!} - \frac{256x^4}{4!} + \dots}{2} \]

\[ \sin^2(2x) = \frac{16x^2}{2! \cdot 2} - \frac{256x^4}{4! \cdot 2} + \dots \]

\[ \sin^2(2x) = 8x^2 - \frac{128x^4}{12} + \dots \]

\[ \sin^2(2x) = 8x^2 - \frac{32x^4}{3} + \dots \]

Шаг 4: Область сходимости

Ряд Маклорена для косинуса \( \cos(4x) \) сходится при всех значениях \( x \), то есть для \( x \in \mathbb{R} \). Так как \( \sin^2(2x) \) выражается через \( \cos(4x) \), область сходимости для разложения будет также \( x \in \mathbb{R} \).

Ответ:

Ряд Маклорена для \( \sin^2(2x) \) будет:

\[ \sin^2(2x) = 8x^2 - \frac{32x^4}{3} + O(x^6) \]

Область сходимости: \(\ x \in \mathbb{R} \).