Разложить в ряд Маклорена функцию {(х). Указать область сходимости полученного ряда к этой функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ – Ряды Тейлора и Маклорена

Задание:

Разложить в ряд Маклорена функцию
f(x) = \dfrac{\sin 3x}{x}
и указать область сходимости полученного ряда.

Шаг 1: Напомним определение ряда Маклорена

Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, разложенного в окрестности точки x = 0.
Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности нуля, то её разложение в ряд Маклорена имеет вид:

 f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n 

Шаг 2: Разложим числитель функции

Нам дана функция:

 f(x) = \dfrac{\sin 3x}{x} 

Вспомним разложение функции \sin x в ряд Маклорена:

 \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} 

Заменим x на 3x:

 \sin 3x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{(3x)^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{3^{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} 

Теперь поделим этот ряд на x:

 f(x) = \dfrac{\sin 3x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{3^{2n+1} x^{2n}}{(2n+1)!} 

Ответ: Ряд Маклорена функции

 f(x) = \dfrac{\sin 3x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{3^{2n+1} x^{2n}}{(2n+1)!} 

Шаг 3: Область сходимости

Так как ряд \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{3^{2n+1} x^{2n}}{(2n+1)!} является результатом деления степенного ряда \sin 3x на x, и \sin x аналитична на всей числовой прямой, то полученный ряд также сходится при всех x \in \mathbb{R}.

Ответ:

Разложение в ряд Маклорена:

 f(x) = \dfrac{\sin 3x}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \dfrac{3^{2n+1} x^{2n}}{(2n+1)!} 

Область сходимости:
x \in \mathbb{R} — ряд сходится при всех действительных значениях x.