Разложить в ряд Фурье, построить графики функции и суммы ряда, а также вычислить значения суммы ряда в точках

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, Ряды Фурье

Дана функция f(x) = 6 на промежутке [0,4]. Нужно разложить её в ряд Фурье, построить графики функции и суммы ряда, а также вычислить значения суммы ряда в точках x = -8.2, -3.5, 0, 3.3, 4, 15.6.

1. Постановка задачи

Функция f(x) = 6 — это постоянная функция на отрезке [0,4]. Мы хотим представить её в виде ряда Фурье.

2. Ряд Фурье на отрезке [0,L]

Для функции с периодом 2L ряд Фурье имеет вид:

 f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n \pi x}{L} + b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) 

где коэффициенты вычисляются по формулам:

 a_0 = \frac{1}{L} \int_0^{2L} f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{1}{L} \int_0^{2L} f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx, \quad b_n = \frac{1}{L} \int_0^{2L} f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx 

3. Определение периода и функции

Так как функция задана на [0,4], возьмём период 2L = 8, значит L = 4. Продлим функцию периодически с периодом 8.

4. Вычисление коэффициентов ряда Фурье

Коэффициент a_0:

 a_0 = \frac{1}{L} \int_0^{2L} f(x) dx = \frac{1}{4} \int_0^{8} f(x) dx 

Функция периодическая и равна 6 на [0,4], а на [4,8] повторяется, значит:

 \int_0^{8} f(x) dx = \int_0^{4} 6 dx + \int_4^{8} 6 dx = 6 \cdot 4 + 6 \cdot 4 = 48 

Тогда

 a_0 = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12 

Коэффициенты a_n:

 a_n = \frac{1}{4} \int_0^{8} 6 \cos \frac{n \pi x}{4} dx = \frac{6}{4} \int_0^{8} \cos \frac{n \pi x}{4} dx = \frac{3}{2} \int_0^{8} \cos \frac{n \pi x}{4} dx 

Интеграл:

 \int_0^{8} \cos \frac{n \pi x}{4} dx = \left. \frac{4}{n \pi} \sin \frac{n \pi x}{4} \right|_0^{8} = \frac{4}{n \pi} \left( \sin 2 n \pi - \sin 0 \right) = 0 

Поскольку \sin 2 n \pi = 0.

Значит

a_n = 0 для всех n \geq 1.

Коэффициенты b_n:

 b_n = \frac{1}{4} \int_0^{8} 6 \sin \frac{n \pi x}{4} dx = \frac{3}{2} \int_0^{8} \sin \frac{n \pi x}{4} dx 

Интеграл:

 \int_0^{8} \sin \frac{n \pi x}{4} dx = \left. - \frac{4}{n \pi} \cos \frac{n \pi x}{4} \right|_0^{8} = - \frac{4}{n \pi} \left( \cos 2 n \pi - \cos 0 \right) = - \frac{4}{n \pi} (1 - 1) = 0 

Поскольку \cos 2 n \pi = 1.

Значит

b_n = 0 для всех n \geq 1.

5. Итог

Ряд Фурье сводится к:

 f(x) \sim \frac{a_0}{2} = \frac{12}{2} = 6 

То есть ряд Фурье совпадает с исходной функцией, что логично, так как функция постоянна.

6. Графики

• График функции f(x) = 6 — прямая линия на высоте 6.
• График суммы ряда Фурье S(x) совпадает с графиком функции, так как ряд состоит из одного члена.

7. Вычисление значений S(x) в заданных точках

Так как сумма ряда равна 6 для всех x (вне зависимости от точки), получаем:

 S(x) = 6, \quad \text{для всех } x 

Значения в точках:

• S(-8.2) = 6
• S(-3.5) = 6
• S(0) = 6
• S(3.3) = 6
• S(4) = 6
• S(15.6) = 6

Итог:

• Ряд Фурье функции f(x) = 6 на [0,4] с периодом 8 — это просто постоянный ряд S(x) = 6.
• Графики функции и суммы ряда совпадают.
• Значения суммы ряда во всех заданных точках равны 6.

Если нужно, могу помочь построить графики с помощью Python или другого инструмента.