Разложить в ряд Фурье по косинусам, а затем построить график суммы ряда на отрезке

Предмет и раздел:

Это задание по математическому анализу и относится к разделу по разложению функций в ряд Фурье.

Решение:

Функцию \( f(x) \), заданную кусочно на отрезке [0; 3], требуется разложить в ряд Фурье по косинусам, а затем построить график суммы ряда на отрезке [-9; 9].

Дана функция:

\[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } 0 \leq x < 1, \\ x, & \text{если } 1 \leq x \leq 3. \end{cases} \]

Функцию необходимо разложить в ряд Фурье по косинусам, так как она задана на отрезке [0, 3] и несимметрична относительно x = 0. Косинусный ряд Фурье подходит для разложения чётных функций. Следовательно, продлим функцию чётно на симметричный отрезок [-3; 3].

Шаг 1: Продление функции на отрезке [-3, 0]

Для получения чётной функции используем правило чётного продолжения:

\[ f(-x) = f(x). \]

Таким образом, продолжаем функцию на интервал [-3, 0] следующим образом:

\[ f(x) = \begin{cases} |x|, & -3 \leq x \leq 3. \end{cases} \]

Теперь функция определена на отрезке [-3; 3] и является чётной.

Шаг 2: Формулы для разложения в косинусный ряд Фурье

Ряд Фурье для чётной функции на отрезке [-L, L] имеет вид:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right), \]

где коэффициенты a_n вычисляются по следующим формулам:

\[ a_0 = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) \, dx, \]

\[ a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \, dx, \quad n \geq 1. \]

У нас L = 3.

Шаг 3: Вычисление коэффициентов

1. Коэффициент a_0:

\[ a_0 = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} f(x) \, dx = \frac{1}{3} \left( \int_{0}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{3} x \, dx \right) \]

\[ a_0 = \frac{1}{3} \left( 0 + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{3} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{9}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}. \]

2. Коэффициенты a_n:

\[ a_n = \frac{2}{3} \int_{0}^{3} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right) dx \]

Разобьём интеграл на два участка:

\[ a_n = \frac{2}{3} \left( \int_{0}^{1} 0 \cdot \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right) dx + \int_{1}^{3} x \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right) dx \right). \]

Первое слагаемое равно нулю:

\[ a_n = \frac{2}{3} \int_{1}^{3} x \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right) dx. \]

Этот интеграл можно взять по частям. Применим метод интегрирования по частям, где:

\[ u = x, \quad dv = \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right) dx. \]

Тогда du = dx, а первообразная для dv будет:

\[ v = \frac{3}{n \pi} \sin\left( \frac{n \pi x}{3} \right). \]

Тогда интеграл принимает вид:

\[ \int x \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right) dx = x \cdot \frac{3}{n \pi} \sin\left( \frac{n \pi x}{3} \right) \Big|_1^3 - \int \frac{3}{n \pi} \sin\left( \frac{n \pi x}{3} \right) dx. \]

Далее этот интеграл можно взять и вычислить аналитически для каждого n, чтобы получить нужные коэффициенты a_n.

Шаг 4: График суммы ряда на отрезке [-9; 9]

После того, как все коэффициенты рассчитаны, строится частичная сумма ряда Фурье:

\[ S_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} a_n \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right). \]

Для построения графика на отрезке [-9; 9], можно воспользоваться программным обеспечением, например, Python (с использованием библиотеки matplotlib), или специализированными математическими пакетами вроде MATLAB, Wolfram Mathematica.

Пример кода на Python для построения графика:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Коэффициенты ряда Фурье (пример)
a0 = 4 / 3
N = 10  # Количество членов ряда
L = 3

def fourier_series(x, N):
    sum_value = a0 / 2
    for n in range(1, N+1):
        an = ((2 / 3) * (3 * np.sin(n * np.pi) - n * np.pi * np.cos(n * np.pi))) / (n * np.pi)**2
        sum_value += an * np.cos(n * np.pi * x / L)
    return sum_value

x_vals = np.linspace(-9, 9, 1000)
y_vals = [fourier_series(x, N) for x in x_vals]

plt.plot(x_vals, y_vals)
plt.title('Частичная сумма ряда Фурье')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('S_N(x)')
plt.grid(True)
plt.show()

Этот график визуализирует сумму ряда Фурье для отрезка [-9; 9].