Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Мы рассматриваем задачу разложения периодической функции \( f(x) \) в ряд Фурье.
Дана кусочная функция:
\[ f(x) = \begin{cases} 3\pi, & 0 \leq x \leq \pi, \\ 0, & -\pi \leq x < 0. \end{cases} \]
Функция периодическая с периодом \( 2\pi \).
Приступим к решению.
Разложение функции \( f(x) \) в ряд Фурье выглядит следующим образом:
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right), \]
где коэффициенты \( a_0 \), \( a_n \), \( b_n \) определяются как:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx, \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx) \, dx, \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) \, dx. \]
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx. \]
Так как функция кусочная, разбиваем интеграл на два участка:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} 3\pi \, dx + \int_{-\pi}^{0} 0 \, dx \right). \]
Первый интеграл:
\[ \int_{0}^{\pi} 3\pi \, dx = 3\pi \cdot x \Big|_{0}^{\pi} = 3\pi^2. \]
Второй интеграл равен 0, так как \( f(x) = 0 \) на этом участке. Тогда:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \cdot 3\pi^2 = 3\pi. \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx) \, dx. \]
Так как функция кусочная:
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} 3\pi \cos(nx) \, dx + \int_{-\pi}^{0} 0 \cdot \cos(nx) \, dx \right). \]
Второй интеграл равен 0, остаётся:
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 3\pi \cos(nx) \, dx = \frac{3}{\pi} \int_{0}^{\pi} \pi \cos(nx) \, dx = 3 \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx. \]
Интеграл вычисляется:
\[ \int \cos(nx) \, dx = \frac{\sin(nx)}{n}. \]
Тогда:
\[ a_n = 3 \cdot \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi}. \]
Подставляем пределы:
\[ \sin(n\pi) = 0, \quad \sin(0) = 0. \]
Таким образом:
\[ a_n = 0. \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) \, dx. \]
Аналогично разбиваем:
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{0}^\pi 3\pi \sin(nx) \, dx + \int_{-\pi}^0 0 \cdot \sin(nx) \, dx \right). \]
Второй интеграл равен 0, остаётся:
\[ b_n = \frac{3}{\pi} \int_{0}^\pi \pi \sin(nx) \, dx = 3 \int_{0}^\pi \sin(nx) \, dx. \]
Интеграл вычисляется:
\[ \int \sin(nx) \, dx = -\frac{\cos(nx)}{n}. \]
Тогда:
\[ b_n = 3 \cdot \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^\pi. \]
Подставляем пределы:
\[ \cos(n\pi) = (-1)^n, \quad \cos(0) = 1. \]
Тогда:
\[ b_n = 3 \cdot \left( -\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} \right) = 3 \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n}. \]
Это даёт:
\[ b_n = \begin{cases} 0, & n \text{ чётное}, \\ \frac{6}{n}, & n \text{ нечётное}. \end{cases} \]
Подставляем всё в ряд Фурье:
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right). \]
\[ f(x) = \frac{3\pi}{2} + \sum_{\substack{n=1 \\ n \, \text{нечётное}}}^\infty \frac{6}{n} \sin(nx). \]