Разложить в ряд фурье f(x)=-4+x на периоде от -1 до 1

Условие:

разложить в ряд фурье f(x)=-4+x на периоде от -1 до 1

Решение:

Предмет: Математика (Математический Анализ) Раздел: Ряды Фурье

Задание: Разложить функцию \(f(x)=−4+x\) в ряд Фурье на периоде от \(−1\) до \(1\).

Шаг 1: Проверим период функции
Функция \(f(x)=−4+x\) определена на интервале \(x∈[−1,1]\). Периодическая функция должна повторяться через некоторое значение \(T\). Период \(T\) равен длине интервала, т.е. \[T=1−(−1)=2.\] Таким образом, \(f(x)\) является \(2\)-периодической функцией, и нам нужно разложить её в ряд Фурье в интервале \([−1,1]\) с периодом 2.
Шаг 2: Общие формулы разложения в ряд Фурье
Чтобы разложить функцию в ряд Фурье, используем следующую общую формулу для разложения периодической функции \(f(x)\) на интервале \([−L,L]\), где в нашем случае \(L=1\) (половина периода): \[f(x)=a02+∑n=1∞(ancos⁡(nπxL)+bnsin⁡(nπxL)),\] где коэффициенты \(a0,an,bn\) вычисляются по следующим формулам: \[a0=1L∫−LLf(x)dx,\] \[an=1L∫−LLf(x)cos⁡(nπxL)dxдляn≥1,\] \[bn=1L∫−LLf(x)sin⁡(nπxL)dxдляn≥1.\] В нашем случае \(L=1\).
Шаг 3: Находим коэффициенты ряда Фурье
1. Найдем коэффициент \(a0\): \[a0=1L∫−11f(x)dx=11∫−11(−4+x)dx.\] Рассчитаем интеграл: \[∫−11(−4+x)dx=∫−11−4dx+∫−11xdx.\] Первый интеграл: \[∫−11−4dx=−4⋅(1−(−1))=−4⋅2=−8.\] Второй интеграл: \[∫−11xdx=[x22]−11=122−(−1)22=12−12=0.\] Итак, \(a0=−8\). 2. Найдем коэффициенты \(an\): \[an=∫−11(−4+x)cos⁡(nπx)dx.\] Для вычисления данного интеграла разделим его на два: \[an=∫−11−4cos⁡(nπx)dx+∫−11xcos⁡(nπx)dx.\] Первый интеграл: \[∫−11−4cos⁡(nπx)dx=−8∫01cos⁡(nπx)dx=−8⋅sin⁡(nπx)nπ|01=0,\] поскольку \(sin⁡(nπ)=0\). Второй интеграл:
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн

Виды работ:

Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут