Предмет: Математика (Математический Анализ) Раздел: Ряды Фурье
Задание: Разложить функцию \( f(x) = -4 + x \) в ряд Фурье на периоде от \(-1\) до \(1\).
Шаг 1: Проверим период функции
Функция
\( f(x) = -4 + x \) определена на интервале
\( x \in [-1, 1] \). Периодическая функция должна повторяться через некоторое значение
\( T \). Период
\( T \) равен длине интервала, т.е.
\[ T = 1 - (-1) = 2. \] Таким образом,
\( f(x) \) является
\( 2 \)-периодической функцией, и нам нужно разложить её в ряд Фурье в интервале
\([-1, 1]\) с периодом 2.
Шаг 2: Общие формулы разложения в ряд Фурье
Чтобы разложить функцию в ряд Фурье, используем следующую общую формулу для разложения периодической функции
\( f(x) \) на интервале
\( [-L, L] \), где в нашем случае
\( L = 1 \) (половина периода):
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) + b_n \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \right), \] где коэффициенты
\( a_0, a_n, b_n \) вычисляются по следующим формулам:
\[ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx, \] \[ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \, dx \quad \text{для} \, n \geq 1, \] \[ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \, dx \quad \text{для} \, n \geq 1. \] В нашем случае
\( L = 1 \).
Шаг 3: Находим коэффициенты ряда Фурье
1.
Найдем коэффициент \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{1} \int_{-1}^{1} (-4 + x) \, dx. \] Рассчитаем интеграл:
\[ \int_{-1}^{1} (-4 + x) \, dx = \int_{-1}^{1} -4 \, dx + \int_{-1}^{1} x \, dx. \] Первый интеграл:
\[ \int_{-1}^{1} -4 \, dx = -4 \cdot (1 - (-1)) = -4 \cdot 2 = -8. \] Второй интеграл:
\[ \int_{-1}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \] Итак,
\( a_0 = -8 \).
2.
Найдем коэффициенты \( a_n \): \[ a_n = \int_{-1}^{1} (-4 + x) \cos(n \pi x) \, dx. \] Для вычисления данного интеграла разделим его на два:
\[ a_n = \int_{-1}^{1} -4 \cos(n \pi x) \, dx + \int_{-1}^{1} x \cos(n \pi x) \, dx. \] Первый интеграл:
\[ \int_{-1}^{1} -4 \cos(n \pi x) \, dx = -8 \int_{0}^{1} \cos(n \pi x) \, dx = -8 \cdot \frac{\sin(n \pi x)}{n \pi} \Bigg|_0^1 = 0, \] поскольку
\( \sin(n \pi) = 0 \). Второй интеграл: