Разложить кусочно-заданную функцию на интервале в тригонометрический ряд Фурье по синусам

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, ряды Фурье

Нам необходимо разложить кусочно-заданную функцию \( f(x) \) на интервале \( [0, 5] \) в тригонометрический ряд Фурье по синусам. Заметим, что функция \( f(x) \) определена кусочно:

\[ f(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, \\ x + 4, & 1 \leq x < 5. \end{cases} \]

Рассмотрим подробнее шаги и процесс нахождения разложения в ряд Фурье по синусам.

Шаг 1. Условие для ряда Фурье по синусам

Чтобы разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по синусам, нам нужно:

1. Функция должна удовлетворять граничным условиям нулей \( f(0) = f(l) = 0 \), где \( l = 5 \) (при данных условиях мы раскладываем функцию по синусам).
2. Это означает, что данная функция должна быть продолжена четным образом (удовлетворяющим вышеуказанным условиям) на интервале \( [-l, l] \), чтобы построить полный ряд Фурье, но с учетом симметрии, разложение будет включать только синусы.

Шаг 2. Базовая формула ряда Фурье по синусам

Разложение функции \( f(x) \) в ряд Фурье по синусам на отрезке \( [0, l] \) имеет вид:

\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n \pi x}{l}\right), \]

где коэффициенты \( b_n \) определяются по формуле:

\[ b_n = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{l}\right) dx. \]

Шаг 3. Нахождение коэффициентов \( b_n \)

Для нахождения \( b_n \), разделим интеграл согласно кусочному заданию функции \( f(x) \).

\[ b_n = \frac{2}{l} \left( \int_{0}^{1} 1 \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{l}\right) dx + \int_{1}^{5} (x + 4) \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{l}\right) dx \right). \]

Найдем первый интеграл:

\[ \int_{0}^{1} 1 \cdot \sin\left(\frac{n \pi x}{5}\right) dx. \]

В результате интегрирования этого выражения получим:

\[ \int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx). \]

Применим это к нашему выражению:

\[ -\frac{1}{\frac{n \pi}{5}} \cos\left(\frac{n \pi x}{5}\right) \Bigg|_0^1 = -\frac{5}{n \pi} \left( \cos\left(\frac{n \pi}{5}\right) - \cos(0) \right). \]

\[ = -\frac{5}{n \pi} \left( \cos\left(\frac{n \pi}{5}\right) - 1 \right). \]

Теперь найдем второй интеграл:

\[ \int_{1}^{5} (x + 4) \sin\left(\frac{n \pi x}{5}\right) dx. \]

Этот интеграл можно решить по частям, представляя функцию \( x + 4 \) как сумму двух функций (\( x \) и \( 4 \)) и вычисляя их интегралы. Итак, весь процесс включает решение данных интегралов.

Шаг 4. Итог

В результате потребуется подставить \( b_n \) в общий ряд и получить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье по синусам.