Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье по синусам

Данное задание относится к курсу математического анализа, конкретно к теме "Ряды Фурье". Необходимо разложить заданную кусочно-заданную функцию в тригонометрический ряд Фурье по синусам.

Задана функция:

y(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < \pi, \\ 2x, & \pi \leq x < 2\pi. \end{cases}

Эта функция определена на интервале [0; 2\pi].

Ряд Фурье по синусам

Функция y(x) является нечетной относительно точки x = \pi, потому что:

y(2\pi - x) = \begin{cases} 0, & 0 < 2\pi - x < \pi, \\ 2(2\pi - x), & \pi \leq 2\pi - x < 2\pi. \end{cases}

То есть функция на отрезке от \pi до 2\pi симметрична относительно интервала 0 < x < \pi с точностью до изменения знака. Для разложения функции в тригонометрический ряд по синусам на интервале [0; 2\pi], используется следующая формула:

f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),

где:

b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx,

а L = 2\pi, так как функция задана на отрезке [0; 2\pi].

Вычисление коэффициентов b_n

Нам нужно найти коэффициенты b_n:

b_n = \frac{2}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) \sin\left(\frac{n x}{2\pi}\right) dx.

Так как функция f(x) кусочно-заданная, разобьем интеграл по частям:

b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_0^\pi 0 \cdot \sin(nx) dx + \int_\pi^{2\pi} 2x \sin(nx) dx \right).

Первый интеграл очевидно равен нулю:

\int_0^\pi 0 \cdot \sin(nx) dx = 0.

Теперь остается вычислить второй интеграл:

b_n = \frac{2}{\pi} \int_\pi^{2\pi} x \sin(nx) dx.

Используем метод интегрирования по частям для вычисления этого интеграла:

\int x \sin(nx) dx = -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}.

Применим пределы интегрирования:

\int_\pi^{2\pi} x \sin(nx) dx = \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2} \right]_\pi^{2\pi}.

Подставляем пределы:

\left( -\frac{2\pi \cos(2n\pi)}{n} + \frac{\sin(2n\pi)}{n^2} \right) - \left( -\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} + \frac{\sin(n\pi)}{n^2} \right).

Упрощаем с учетом того, что \cos(2n\pi) = 1, \sin(2n\pi) = 0, \cos(n\pi) = (-1)^n, \sin(n\pi) = 0:

b_n = \frac{2}{\pi} \left( -\frac{2\pi}{n} + (-1)^n \frac{\pi}{n} \right).

Упрощаем:

b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n}(-2 + (-1)^n),

b_n = \frac{2}{n}((-1)^n - 2).

Окончательное представление ряда Фурье:

Таким образом, тригонометрический ряд Фурье будет иметь вид:

f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n}((-1)^n - 2) \sin(nx).