Разложить функцию в степенной ряд y=1/((1+x)(1-3x))

Данное задание относится к математическому анализу, разделу "Ряды", а именно, задаче разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора/Маклорена).

Нам дано выражение: \[ y = \frac{1}{(1+x)(1-3x)} \] Для разложения этой функции в ряд, мы представим это выражение в более удобном виде, используя известные разложения для простейших функций.

Шаг 1: Разложение каждой части в степенной ряд

1. Первая часть \(\frac{1}{1+x}\): Есть известное разложение: \[ \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + ... \]
2. Вторая часть \(\frac{1}{1-3x}\): Здесь также известно разложение: \[ \frac{1}{1-3x} = \sum_{n=0}^{\infty} (3x)^n = 1 + 3x + (3x)^2 + (3x)^3 +... = 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + ... \]

Шаг 2: Произведение рядов

Теперь рассмотрим произведение двух рядов: \[ \left( 1 - x + x^2 - x^3 + ... \right) \cdot \left( 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + ... \right) \] Перемножим эти два ряда, используя распределительное свойство:

• Для \(x^0\) (константа): \(1 \cdot 1 = 1\)
• Для \(x^1\): \(1 \cdot 3x + (-x) \cdot 1 = 3x - x = 2x\)
• Для \(x^2\): \(1 \cdot 9x^2 + (-x) \cdot 3x + x^2 \cdot 1 = 9x^2 - 3x^2 + x^2 = 7x^2\)
• Для \(x^3\): \(1 \cdot 27x^3 + (-x) \cdot 9x^2 + x^2 \cdot 3x + (-x^3)\cdot 1 = 27x^3 - 9x^3 + 3x^3 - x^3 = 20x^3\)
И так далее для более высоких степеней.

Шаг 3: Ответ

Таким образом, разложение функции в степенной ряд дает: \[ y = 1 + 2x + 7x^2 + 20x^3 + O(x^4) \] Здесь мы записали несколько первых членов ряда; более высокие члены \(O(x^4)\) можно вычислить аналогичным образом.