Разложить функцию в степенной ряд

Задание относится к математическому анализу, а именно к теме разложения функций в степенной ряд. Нам дана функция:

y = \frac{1}{1 - 3x}

Задача: Разложить эту функцию в степенной ряд.

Подход: Мы знаем, что для функции \(\frac{1}{1 - z}\) можно записать разложение в степенной ряд при условии, что \( |z| < 1 \):

\frac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^\infty z^n = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots

Здесь \( z = 3x \), следовательно:

\frac{1}{1 - 3x} = \sum_{n=0}^\infty (3x)^n = 1 + 3x + (3x)^2 + (3x)^3 + \dots

Теперь раскроем эти степени:

= 1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \dots

Результат: Функция \( \frac{1}{1 - 3x} \) разлагается в степенной ряд:

1 + 3x + 9x^2 + 27x^3 + \dots при \, |3x| < 1 \, или \, |x| < \frac{1}{3}

Таким образом, разложение функции выполнено.