Разложить функцию в ряд Тэйлора по степеням x. Найди радиус сходимости полученного ряда. Вычеслить f(10)0

Задача требует разложения функции \( f(x) = (1 - x^2) \sin(x^2) \) в ряд Тейлора, нахождения радиуса сходимости этого ряда и вычисления значения \( f(10) \).

1. Разложение функции в ряд Тейлора по степеням \(x\)

Для начала, разложим синус в ряд Тейлора:

\[ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \]

Теперь подставим \( x^2 \) вместо \(x\) в разложение для синуса:

\[ \sin(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n+2} \]

Теперь найдём произведение \( (1 - x^2) \sin(x^2) \):

\[ (1 - x^2) \sin(x^2) = (1 - x^2) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n+2} \]

Разложим это произведение:

\[ (1 - x^2) \sin(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n+2} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n+4} \]

Перепишем:

\[ f(x) = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n+2} \right) - \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{4n+4} \right) \]

Это и будет разложение функции \(f(x)\) в степенной ряд по степеням \(x\).

2. Радиус сходимости

Так как основным слагаемым в функции является разложение синуса, известен факт, что ряд Тейлора для синуса сходится при всех значениях \(x\), т.е. радиус сходимости равен \( R = \infty \).

3. Вычисление \( f(10) \)

Для вычисления значения \( f(10) \), подставим \( x = 10 \) в выражение \( f(x) = (1 - x^2) \sin(x^2) \):

\[ f(10) = (1 - 10^2) \sin(10^2) = (1 - 100) \sin(100) \]

\[ f(10) = -99 \sin(100) \]

Значение \( \sin(100) \) можно вычислить с помощью калькулятора:

\[ \sin(100) \approx -0.506 \]

Тогда:

\[ f(10) \approx -99 \times (-0.506) = 50.094 \]

Таким образом, \( f(10) \approx 50.094 \).

Ответ:

1. Разложение функции дано выше.
2. Радиус сходимости \( R = \infty \).
3. \( f(10) \approx 50.094 \).