Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x и указать радиус сходимости полученного ряда. f(x)=x^4*e^(-5x)
Рассмотрим функцию \( f(x) = x^4 e^{-5x} \).
Задача состоит в разложении этой функции в ряд Тейлора по степеням \( x \) и нахождении радиуса сходимости полученного ряда.
Начнем с функции \( e^{-5x} \). Известно, что функция \( e^x \) может быть разложена в степенной ряд:
\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]
Подставим \(-5x\) вместо \(x\):
\[ e^{-5x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5x)^n}{n!} \]
Посчитаем несколько первых членов ряда:
\[ e^{-5x} = 1 + \frac{(-5x)}{1!} + \frac{(-5x)^2}{2!} + \frac{(-5x)^3}{3!} + \dots \]
\[ = 1 - 5x + \frac{25x^2}{2} - \frac{125x^3}{6} + \dots \]
Теперь умножим функцию \( x^4 \) на разложенный в ряд \( e^{-5x} \):
\[ f(x) = x^4 \cdot e^{-5x} \]
Подставим степенной ряд \( e^{-5x} \):
\[ x^4 \cdot e^{-5x} = x^4 \left( 1 - 5x + \frac{25x^2}{2} - \frac{125x^3}{6} + \dots \right) \]
Раскроем скобки, умножая каждый член ряда на \( x^4 \):
\[ f(x) = x^4 - 5x^5 + \frac{25x^6}{2} - \frac{125x^7}{6} + \dots \]
Следовательно, разложение функции \( f(x) = x^4 e^{-5x} \) в степенной ряд по \( x \) имеет вид:
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5)^n x^{n+4}}{n!} \]
Или, перезаписав ряд:
\[ f(x) = x^4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5x)^n}{n!} \]
Функция \( e^{-5x} \) разлагается в степенной ряд \[ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-5x)^n}{n!} \]. Поскольку этот ряд является степенным рядом, его радиус сходимости определяется через известную формулу для ряда \( e^{kx} \). Радиус равен \( \frac{1}{|k|} \). В данном случае \( k = -5 \), следовательно радиус сходимости равен:
\[ R = \frac{1}{|-5|} = \frac{1}{5} \]
Итак, радиус сходимости полученного ряда равен \( \frac{1}{5} \).