Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням Х

Предмет: Математика
Раздел предмета: Ряды Тейлора

Нам нужно разложить функцию \ln(1 - x - 12x^2) в ряд Тейлора по степеням x.

Шаг 1. Общая формула разложения функции

Ряд Тейлора для функции f(x) вокруг точки x = 0 (ряд Маклорена) имеет вид:  f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots 

Здесь f^{(n)}(0) обозначает n-ю производную функции, вычисленную в точке x = 0.

Шаг 2. Функция и её производные

Пусть f(x) = \ln(1 - x - 12x^2). Найдём первые несколько производных этой функции.

Первая производная:

 f'(x) = \frac{d}{dx}\ln(1 - x - 12x^2) = \frac{-1 - 24x}{1 - x - 12x^2}. 

Вторая производная:

 f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{-1 - 24x}{1 - x - 12x^2}\right).  Используем правило производной дроби:  f''(x) = \frac{(1 - x - 12x^2)(-24) - (-1 - 24x)(-1 - 24x)}{(1 - x - 12x^2)^2}. 

Третья производная:

Для третьей производной вычисления становятся всё сложнее, но для разложения до нужной степени нам может быть достаточно первых нескольких членов.

Шаг 3. Разложение логарифма

Для упрощения используем стандартный ряд Тейлора для логарифма:  \ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \dots,  где |u| < 1.

В нашем случае u = -(x + 12x^2). Подставляем это в разложение:  \ln(1 - x - 12x^2) = -(x + 12x^2) - \frac{(x + 12x^2)^2}{2} + \frac{(x + 12x^2)^3}{3} - \dots 

Шаг 4. Раскрытие первых членов

Раскроем первые несколько степеней:

1. Линейный член:  -(x + 12x^2) = -x - 12x^2. 

2. Квадратичный член:  -\frac{(x + 12x^2)^2}{2} = -\frac{x^2 + 24x^3 + 144x^4}{2} = -\frac{x^2}{2} - 12x^3 - 72x^4. 

3. Кубический член:  \frac{(x + 12x^2)^3}{3} = \frac{x^3 + 36x^4 + 432x^5 + \dots}{3} = \frac{x^3}{3} + 12x^4 + 144x^5. 

Шаг 5. Итоговое разложение

Собираем все члены до степени x^4:  \ln(1 - x - 12x^2) \approx -x - 12x^2 - \frac{x^2}{2} - 12x^3 - 72x^4 + \frac{x^3}{3} + 12x^4. 

Упрощаем:  \ln(1 - x - 12x^2) \approx -x - \frac{25}{2}x^2 - \frac{35}{3}x^3 - 60x^4. 

Ответ:

Разложение функции \ln(1 - x - 12x^2) в ряд Тейлора по степеням x:  \ln(1 - x - 12x^2) \approx -x - \frac{25}{2}x^2 - \frac{35}{3}x^3 - 60x^4.