Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням

Хорошо, давайте разберем ваше задание. Это задание относится к математическому анализу, а именно к разделу, связанному с разложением функции в ряд Тейлора.

Функция, которую нужно разложить в ряд Тейлора, выглядит следующим образом: \[ f(x) = \frac{\cosh(3x) - 1}{x^2} \]

Шаг 1: Найдем ряд Тейлора для гиперболического косинуса \(\cosh(3x)\).

\[ \cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]

Следовательно, \[ \cosh(3x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3x)^{2n}}{(2n)!} \]

Шаг 2: Выразим этот ряд более конкретно.

\[ \cosh(3x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(9x^2)^n}{(2n)!} = 1 + \frac{(9x^2)}{2!} + \frac{(9x^2)^2}{4!} + \frac{(9x^2)^3}{6!} + \dots \]

Шаг 3: Вычтем 1 из полученного ряда и разделим на \((x^2)\).

\[ \cosh(3x) - 1 = \left(1 + \frac{(9x^2)}{2!} + \frac{(9x^2)^2}{4!} + \frac{(9x^2)^3}{6!} + \dots\right) - 1 \]

\[ = \frac{9x^2}{2!} + \frac{(9x^2)^2}{4!} + \frac{(9x^2)^3}{6!} + \dots \]

Теперь разделим каждое слагаемое на \((x^2)\):

\[ \frac{\cosh(3x) - 1}{x^2} = \frac{\frac{9x^2}{2!} + \frac{(9x^2)^2}{4!} + \frac{(9x^2)^3}{6!} + \dots}{x^2} \]

\[ = \frac{9}{2!} + \frac{(9x^2)}{4!} + \frac{(9x^2)^2}{6!} + \dots \]

\[ = \frac{9}{2} + \frac{81x^2}{24} + \frac{729x^4}{720} + \dots \]

Шаг 4: Упростим коэффициенты.

\[ = \frac{9}{2} + \frac{81x^2}{24} + \frac{729x^4}{720} + \dots \]

\[ = \frac{9}{2} + \frac{27x^2}{8} + \frac{27x^4}{80} + \dots \]

Таким образом, разложение функции \(\frac{\cosh(3x) - 1}{x^2}\) в ряд Тейлора по степеням \((x)\) будет следующим:

\[ \frac{9}{2} + \frac{27x^2}{8} + \frac{27x^4}{80} + \dots \]

Это и есть разложение функции в ряд Тейлора.