Разложить функцию f(x)=x/sqrt(1+2x) в ряд Тейлора по степеням x. Найти радиус сходимости R полученного ряда. Вычислить девятую производную f(0)

Определение предмета и раздела

Этот вопрос относится к предмету математического анализа, а конкретнее — к разделу ряды Тейлора и Маклорена, который изучает приближение функций бесконечными степенными рядами.

Решение

1. Разложение функции \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + 2x}} \) в ряд Тейлора по степеням \( x \)

Ряд Тейлора функции \( f(x) \) в окрестности точки \( x = 0 \) — это разложение функции в степенной ряд вида:

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \]

Мы хотим найти разложение данной функции в ряд Тейлора, где центр ряда \( a = 0 \), то есть нам нужно разложить функцию по степеням \( x \) в окрестности нуля.

Шаг 1: Упрощение выражения

Запишем функцию:

\[ f(x) = \frac{x}{(1 + 2x)^{1/2}} \]

Для разложения этой функции в ряд Тейлора удобно сначала воспользоваться разложением для выражения \( \frac{1}{(1+z)^n} \). Имеем:

\[ \frac{1}{(1+z)^{1/2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-1/2}{n} z^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n n!} z^n \]

Таким образом:

\[ \frac{1}{(1+2x)^{1/2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{2^n n!} (2x)^n = \]