Разложить функцию f(x)=x на интервале (0;1) в ряд по синусам

Предмет: Математика Раздел: Математический анализ — Разложение функций в ряды (тригонометрические ряды, ряды Фурье)

Задача: Разложить функцию \( f(x) = x \) на интервале \( (0;1) \) в ряд по синусам.

Решение:

Ряд по синусам обычно строится для функций, которые определены на отрезке \( (0; L) \) и удовлетворяют условиям, позволяющим разложить их в ряд Фурье по синусам. Нам нужно рассмотреть отрезок \( (0;1) \), то есть \( L = 1 \).

Общий вид ряда Фурье по синусам:

Если функция \( f(x) \) задана на интервале \( (0; L) \), то она может быть разложена в ряд по синусам в виде:

\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \]

где коэффициенты \( b_n \) вычисляются по следующей формуле:

\[ b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx. \]

Для нашего случая \( L = 1 \), и тогда формула принятого ряда по синусам превращается в:

\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n\pi x), \]

где \[ b_n = 2 \int_0^1 f(x) \sin(n\pi x) dx. \]

В нашем случае \( f(x) = x \), и нам нужно вычислить коэффициенты \( b_n \).

Шаг 1: Вычисление коэффициентов \( b_n \)

Коэффициенты \( b_n \) находятся по формуле:

\[ b_n = 2 \int_0^1 x \sin(n\pi x) dx. \]

Для решения этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Обозначим:

• \( u = x \), тогда \( du = dx \),
• \( dv = \sin(n\pi x) dx \), тогда \( v = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) \).

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du. \]

Применим это к нашему интегралу:

\[ b_n = 2 \left[ -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) \Big|_0^1 + \int_0^1 \frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x) dx \right]. \]

Подставим пределы в первое слагаемое:

\[ \left( -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) \right) \Big|_0^1 = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi) + \frac{0}{n\pi} \cos(0) = -\frac{1}{n\pi} (-1) = \frac{1}{n\pi}. \]

Теперь рассмотрим второй интеграл:

\[ \int_0~1 \cos(n\pi x) dx = \frac{\sin(n\pi x)}{n\pi} \Big|_0^1 = \frac{\sin(n\pi)}{n\pi} - \frac{\sin(0)}{n\pi} = 0, \]

так как \( \sin(n\pi) = 0 \) для любого целого \( n \). Таким образом, окончательное выражение для коэффициентов \( b_n \) имеет вид:

\[ b_n = 2 \cdot \frac{1}{n\pi} = \frac{2}{n\pi}. \]

Шаг 2: Запись ряда

Теперь мы можем записать разложение функции \( f(x) = x \) в ряд по синусам:

\[ f(x) = x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi} \sin(n\pi x). \]

Ответ:

Функция \( f(x) = x \) разложена в ряд по синусам на интервале \( (0;1) \) следующим образом:

\[ x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi} \sin(n\pi x). \]