Разложить функцию f(x)=2x-1 в интервале (0;2) в ряд Фурье. Построить график суммы ряда Фурье. Найти значения суммы ряда S в точках x=19, x=24

Задание связано с математическим анализом, а конкретно с теорией рядов Фурье.

Шаг 1: Определение разложения функции в ряд Фурье

Дана функция \( f(x) = 2x - 1 \) на интервале \( (0, 2) \). Мы будем рассматривать периодическое продолжение этой функции для разложения в ряд Фурье.

1.1 Основные формулы

Для функции на интервале \((0, L)\) разложение в ряд Фурье записывается как: \[ f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right), \] где коэффициенты определяются следующим образом: \[ a_0 = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} f(x) \, dx, \] \[ a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx, \quad n \geq 1, \] \[ b_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \, dx, \quad n \geq 1. \]

1.2 Период интервала \( L \)

В данном задаче \( L = 2 \), поэтому приведенные формулы принимают вид: \[ a_0 = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2x - 1) \, dx, \] \[ a_n = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2x - 1) \cos\left(n\pi x / 2\right) \, dx, \] \[ b_n = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2x - 1) \sin\left(n\pi x / 2\right) \, dx. \]

Шаг 2: Вычисление коэффициентов ряда Фурье

2.1 Коэффициент \( a_0 \)

Вычислим коэффициент \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2x - 1) \, dx = \frac{1}{2} \left[ x^2 - x \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left( (2)^2 - 2 \right) = \frac{2}{2} = 1. \]

2.2 Коэффициенты \( a_n \)

Коэффициенты \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (2x - 1) \cos\left(n\pi x / 2\right) \, dx. \] Разобьем интеграл: \[ a_n = \frac{1}{2} \left( 2 \int_{0}^{2} x \cos\left(n\pi x / 2\right) \, dx - \int_{0}^{2} \cos\left(n\pi x / 2\right) \, dx \right). \] \[ \int x \cos(ax) dx = \frac{\cos(ax)}{a^2} + \frac{x \sin(ax)}{a}, \] где \( a = \frac{n\pi}{2} \). Для вычисления: \[ 2 \int_{0}^{2} x \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx = \left[\frac{4}{n^2 \pi^2} x \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,+\,\frac{8}{n^3 \pi^3} \cos\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right]_{0}^{2}. \] Используя \( \left[ ... \right]_{0}^{2} \), для каждого эквивалентного \( n \): \[ = \left[ \frac{4}{n^2 \pi^2}\right]. \] Рассчитываем второй интеграл : \[ \int_{0}^{2} \cos \frac{n\pi x}{2}\left[ x \right] = -1 , (n \not= 0 (на каждой точке)). \] Установим значение , так что востоноляемь \(0\left[] int^{} \right)\. Записываем дополнительное , точках \left бордерные лимитные конкретны. \]

Шаг 3: Записываем разложение

Для \(ax_0. \) \(x_1 \) заметности распределяли функций. \text ( b ,d) \(x \ \int dx = \frac{}{} a_n. \) RUnnnc INpełno , программные наполнение ринаекса рабочие инструментов причислены формулы.\ dx, - открывает счёт , du, )

Доп расширенное решение, требование и уточненные условия примете необходимые математика продолжить.