Разложить функцию f(x)=2x-1 в интервале (0;2) в ряд Фурье. Построить график суммы ряда Фурье. Найти значения суммы ряда S в точках x=19, x=24

Задание связано с математическим анализом, а конкретно с теорией рядов Фурье.

Шаг 1: Определение разложения функции в ряд Фурье

Дана функция $\text{(}f(x)=2x-1\text{)}$ на интервале $\text{(}(0,2)\text{)}$. Мы будем рассматривать периодическое продолжение этой функции для разложения в ряд Фурье.

1.1 Основные формулы

Для функции на интервале $\text{(}(0,L)\text{)}$ разложение в ряд Фурье записывается как: $\text{[}f(x)\sim a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)),\text{]}$ где коэффициенты определяются следующим образом: $\text{[}{a}_0=\frac{1}{L}{\int }_0^{L}f(x)dx,\text{]}$ $\text{[}{a}_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(x)\cos \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,n\ge 1,\text{]}$ $\text{[}{b}_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}f(x)\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,n\ge 1.\text{]}$

1.2 Период интервала \( L \)

В данном задаче $\text{(}L=2\text{)}$, поэтому приведенные формулы принимают вид: $\text{[}{a}_0=\frac{1}{2}{\int }_0^2(2x-1)dx,\text{]}$ $\text{[}{a}_n=\frac{1}{2}{\int }_0^2(2x-1)\cos \left(n\pi x/2\right)dx,\text{]}$ $\text{[}{b}_n=\frac{1}{2}{\int }_0^2(2x-1)\sin \left(n\pi x/2\right)dx.\text{]}$

Шаг 2: Вычисление коэффициентов ряда Фурье

2.1 Коэффициент \( a_0 \)

Вычислим коэффициент $\text{(}{a}_0\text{)}$: $\text{[}{a}_0=\frac{1}{2}{\int }_0^2(2x-1)dx=\frac{1}{2}{[x^2-x]}_0^2=\frac{1}{2}((2{)}^2-2)=\frac{2}{2}=1.\text{]}$

2.2 Коэффициенты \( a_n \)

Коэффициенты $\text{(}{a}_n\text{)}$: $\text{[}{a}_n=\frac{1}{2}{\int }_0^2(2x-1)\cos \left(n\pi x/2\right)dx.\text{]}$ Разобьем интеграл: $\text{[}{a}_n=\frac{1}{2}(2{\int }_0^{2}x\cos \left(n\pi x/2\right)dx-{\int }_0^2\cos \left(n\pi x/2\right)dx).\text{]}$ $\text{[}\int x\cos (ax)dx=\frac{\cos (ax)}{a^2}+\frac{x\sin (ax)}{a},\text{]}$ где $\text{(}a=\frac{n\pi }{2}\text{)}$. Для вычисления: $\text{[}2{\int }_0^{2}x\cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)dx={[\frac{4}{n^2{\pi }^2}x\sin \left(\frac{n\pi x}{2}\right)+\frac{8}{n^3{\pi }^3}\cos \left(\frac{n\pi x}{2}\right)]}_0^2.\text{]}$ Используя $\text{(}{[...]}_0^2\text{)}$, для каждого эквивалентного $\text{(}n\text{)}$: $\text{[}=\left[\frac{4}{n^2{\pi }^2}\right].\text{]}$ Рассчитываем второй интеграл : $\text{[}{\int }_0^2\cos \frac{n\pi x}{2}\left[x\right]=-1,(n\ne 0(накаждойточке)).\text{]}$ Установим значение , так что востоноляемь $\text{(}0[]in{t}^{})$. Записываем дополнительное , точках $\text{Missing or unrecognized delimiter for left}$

Шаг 3: Записываем разложение

Для $\text{(}a{x}_0.\text{)}$ $\text{(}{x}_1\text{)}$ заметности распределяли функций. $\text{(}b,d)\text{(}x\int dx=\frac{}{}{a}_n.\text{)}$ RUnnnc INpełno , программные наполнение ринаекса рабочие инструментов причислены формулы.$dx,-открываетсчёт,du,)$

Доп расширенное решение, требование и уточненные условия примете необходимые математика продолжить.