Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Разложить функцию f(x) в ряд Тейлор в окрестности точки X0. Указать область сходимости полученного ряда. Указание: использовать разложение элементарный функция в степенные ряды. y=6ch(5x) X0=0
Задана функция \(( y = 6 \cdot \cosh(5x) )\). Попросили найти её разложение в ряд Тейлора в окрестности точки \(( x_0 = 0 )\) и указать область сходимости.
Гиперболический косинус можно записать через известную формулу: \[\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\]
Теперь вспомним ряд Тейлора для экспоненты \(( e^x )\). Он выглядит так: \[e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]
Теперь с помощью этой формулы мы получим ряд Тейлора для функции \(( \cosh(x) )\).
Рассмотрим функцию \(( \cosh(5x) )\), используя формулу для гиперболического косинуса: \[\cosh(5x) = \frac{e^{5x} + e^{-5x}}{2}\]
Теперь разложим экспоненты в ряды Тейлора:
\[e^{5x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(5x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^n x^n}{n!}\] \[e^{-5x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5)^n x^n}{n!}\]Теперь сложим эти два ряда:
\[\cosh(5x) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^n x^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5)^n x^n}{n!} \right)\]Из этого выражения видно, что для нечетных \(( n )\) суммы будут взаимно уничтожаться, так как в одном ряде знак будет положительный, а в другом — отрицательный. Для четных \(( n )\), наоборот, значения сложатся. Таким образом, получаем:
\[\cosh(5x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{2n} x^{2n}}{(2n)!}\]Теперь масштабируем полученное разложение на коэффициент 6:
\[y = 6 \cdot \cosh(5x) = 6 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^{2n} x^{2n}}{(2n)!}\]Итак, ряд Тейлора для \(( y = 6 \cdot \cosh(5x) )\) в точке 0:
\[y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{6 \cdot 5^{2n} x^{2n}}{(2n)!}\]Рассмотрим разложения для экспонент. Ряд Тейлора для экспоненты сходится на всей действительной оси, следовательно, и для функции \(( \cosh(5x) )\) ряд Тейлора также будет сходиться для всех \(( x )\). То есть, область сходимости — вся числовая прямая \(\mathbb{R}\).