Разложить функцию f(x) = sinx - xcos х в ряд Тейлора по степеням х. Найти радиус сходимости R полученного ряда. Вычислить f (9) (0)

Определение предмета и раздела: Ваш запрос относится к курсу математического анализа, а конкретно — к теме разложения функции в ряд Тейлора и радиус сходимости степенного ряда.

Разберём два задания по порядку:

Задание 1: Разложить функцию \( f(x) = \sin(x) - x\cos(x) \) в ряд Тейлора по степеням \(x\). Найти радиус сходимости \(R\), а также вычислить \( f^{(9)}(0) \).

Шаг 1: Найдём производные функции \(f(x) = \sin(x) - x\cos(x)\).

1. \( f(x) = \sin(x) - x\cos(x) \)
2. Первая производная: \[ f'(x) = \cos(x) - (\cos(x) - x\sin(x)) = x\sin(x) \]
3. Вторая производная: \[ f''(x) = (\sin(x) + x\cos(x)) \]
4. Третья производная: \[ f^{(3)}(x) = (\cos(x) + (\cos(x) - x\sin(x)) = 2\cos(x) \]
5. Четвертая производная: \[ f^{(4)}(x) = -2\sin(x) \]

Шаг 2: Найдём несколько значений производных в точке \(0\).

1. \( f(0) = \sin(0) - 0 \cdot \cos(0) = 0 \).
2. \( f'(0) = x \sin(x) \Big|_{x=0} = 0 \)
3. \( f''(0) = (\sin(x) + x \cos(x)) \Big|_{x=0} = 1 \)
4. \( f^{(3)}(0) = 2\cos(0) = 2 \)
5. \( f^{(4)}(0) = -2\sin(0) = 0 \)

Шаг 3: Запишем разложение в ряд Тейлора до нескольких слагаемых:

Ряд Тейлора функции \( f(x) \) в точке \( 0 \) выглядит так: \[ f(x) = f(0) + f'(0) \frac{x^1}{1!} + f''(0) \frac{x^2}{2!} + f^{(3)}(0) \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

\( f(x) \approx 0 + 0 \cdot \frac{x}{1!} + 1\cdot \frac{x^2}{2!} + 2 \cdot \frac{x^3}{3!} + 0 \cdot \frac{x^4}{4!} + \dots \)

\( f(x) \approx \frac{x^2}{2} + \frac{2x^3}{6} + O(x^5) \)

Таким образом, разложение до членов порядка 4: \[ f(x) \approx \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \]

Шаг 4: Радиус сходимости ряда.

Для степенного ряда радиус сходимости вычисляется по формуле: \[ R = \frac{1}{\limsup \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|} \]

Поскольку \(f(x)\) — это комбинация элементарных функций \( \sin(x) \) и \(x \cos(x)\), радиус сходимости будет таким же, как у ряда для \( \sin(x) \), то есть \(R = \infty\).

Шаг 5: Найдем \(f^{(9)}(0)\).

Вид разложения функции по степеням \(x\) позволяет заметить, что каждая нечетная производная "занимает" нечетную степень. Для точного вычисления \( f^{(9)}(0) \) нам нужно последовательно дифференцировать заданную функцию. Это может быть выполнено вручную, либо с использованием специальных средств для символического вычисления (например, системы Mathematica).

Задание 2: Исследовать радиус сходимости суммы

Дана сумма: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n \ln^2 n} x^{n+1} \]

Шаг 1: Исследуем сумму на сходимость с помощью признака Д’Аламбера.

Рассмотрим общий член данного ряда: \[ a_n = \frac{5^n}{n \ln^2 n} x^{n+1} \]

Исследуем предел: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{5^{n+1}}{(n+1) \ln^2(n+1)} x^{n+2}}{\frac{5^n}{n \ln^2 n} x^{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} 5 \cdot \frac{x}{1 \cdot \frac{n \ln^2 n}{(n+1) \ln^2(n+1)}} \]

При больших \(n\), приближенно можно считать: \[ \frac{n \ln^2 n}{(n+1) \ln^2(n+1)} \approx 1 \]

Таким образом, ряд ведет себя как геометрический, и условие сходимости: \[ |5x| < 1 \quad \Rightarrow \quad |x| < \frac{1}{5} \]

Отсюда радиус сходимости \( R = \frac{1}{5} \).

Ответы:

1. Разложение функции \( f(x) = \sin(x) - x \cos(x) \) в ряд Тейлора: \[ f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^5) \]
2. Радиус сходимости \( R = \infty \).
3. Радиус сходимости заданного ряда \( R = \frac{1}{5} \).