Разложить функцию f(x) = sinx - x cos х в ряд Тейлора по степеням х. Найти радиус сходимости R полученного ряда. Вычислить f (9) (0)

Задание относится к разделу "Математический анализ", тема - Ряды Тейлора.

Шаг 1. Разложим функцию \( f(x) = \sin x - x \cos x \) в ряд Тейлора по степеням \( x \).

Для начала распишем ряды Тейлора для основных функций:

1. \(\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\)
2. \(\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\)

Рассмотрим теперь последовательное разложение функции \( f(x) = \sin x - x \cos x \):

• \(\sin x\) уже имеет свой разложенный вид: \[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\]
• Разложение для \(x \cos x\): \[x \cos x = x \cdot \left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n+1}\]

Теперь можно объединить эти два ряда:

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Для каждого \(n\), \(2n+1\) степень совпадает, поэтому можно записать их разницей в виде общего ряда:

Шаг 2. Найдём радиус сходимости \( R \).

Для тех функций, которые разлагаются в ряд Тейлора (\( \sin x \) и \( \cos x \)), радиус сходимости равен \( R = \infty \), так как эти ряды сходятся при любых значениях \( x \). Соответственно, и для \( f(x) = \sin x - x \cos x \) радиус сходимости будет также равен \( R = \infty \).

Шаг 3. Найдём производную девятого порядка \( f^{(9)}(0) \).

Зная, что разложение функции \( f(x) \) начинается с нечётных степеней, необходимо найти коэффициент при \( x^9 \) в разложении \( f(x) \). Для этого воспользуемся представлением общего члена ряда:

Нам нужно найти производную для \( x^9 \). Коэффициент при \( x^9 \) соответствует шагу \( n = 4 \). Найдём \( 9 \)-ю производную от \( f(x) \) в точке \( x = 0 \):

Коэффициент при \( x^9 \) можно найти из разности коэффициентов при \( x^9 \) в разложениях для \( \sin x \) и \( \cos x \):

Теперь можем вычислить значение девятой производной:

Таким образом,

Ответы:

1. Разложение в ряд Тейлора: \[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} - \frac{(-1)^n}{(2n)!}\right) x^{2n+1}\]
2. Радиус сходимости: \( R = \infty \)
3. \( f^{(9)}(0) = -7 \)