Разложить функцию f(x) = sinx - x cos х в ряд Тейлора по степеням х. Найти радиус сходимости R полученного ряда. Вычислить f (9) (0)

Задание относится к разделу "Математический анализ", тема - Ряды Тейлора.

Шаг 1. Разложим функцию $\text{(}f(x)=\sin x-x\cos x\text{)}$ в ряд Тейлора по степеням $\text{(}x\text{)}$.

Для начала распишем ряды Тейлора для основных функций:

1. $\text{(}\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\text{)}$
2. $\text{(}\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}\text{)}$

Рассмотрим теперь последовательное разложение функции $\text{(}f(x)=\sin x-x\cos x\text{)}$:

• $\text{(}\sin x\text{)}$ уже имеет свой разложенный вид: $\text{[}\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}\text{]}$
• Разложение для $\text{(}x\cos x\text{)}$: $\text{[}x\cos x=x\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n+1}\text{]}$

Теперь можно объединить эти два ряда:

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Для каждого $\text{(}n\text{)}$, $\text{(}2n+1\text{)}$ степень совпадает, поэтому можно записать их разницей в виде общего ряда:

Шаг 2. Найдём радиус сходимости $\text{(}R\text{)}$.

Для тех функций, которые разлагаются в ряд Тейлора ($\text{(}\sin x\text{)}$ и $\text{(}\cos x\text{)}$), радиус сходимости равен $\text{(}R=\mathrm{\infty }\text{)}$, так как эти ряды сходятся при любых значениях $\text{(}x\text{)}$. Соответственно, и для $\text{(}f(x)=\sin x-x\cos x\text{)}$ радиус сходимости будет также равен $\text{(}R=\mathrm{\infty }\text{)}$.

Шаг 3. Найдём производную девятого порядка $\text{(}{f}^{(9)}(0)\text{)}$.

Зная, что разложение функции $\text{(}f(x)\text{)}$ начинается с нечётных степеней, необходимо найти коэффициент при $\text{(}{x}^9\text{)}$ в разложении $\text{(}f(x)\text{)}$. Для этого воспользуемся представлением общего члена ряда:

Нам нужно найти производную для $\text{(}{x}^9\text{)}$. Коэффициент при $\text{(}{x}^9\text{)}$ соответствует шагу $\text{(}n=4\text{)}$. Найдём $\text{(}9\text{)}$-ю производную от $\text{(}f(x)\text{)}$ в точке $\text{(}x=0\text{)}$:

Коэффициент при $\text{(}{x}^9\text{)}$ можно найти из разности коэффициентов при $\text{(}{x}^9\text{)}$ в разложениях для $\text{(}\sin x\text{)}$ и $\text{(}\cos x\text{)}$:

Теперь можем вычислить значение девятой производной:

Таким образом,

Ответы:

1. Разложение в ряд Тейлора: $\text{[}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}-\frac{(-1{)}^n}{(2n)!})x^{2n+1}\text{]}$
2. Радиус сходимости: $\text{(}R=\mathrm{\infty }\text{)}$
3. $\text{(}{f}^{(9)}(0)=-7\text{)}$