Разложить функцию f (x) = x sin ^2 x в ряд Тейлора по степеням х. Найти радиус сходимости R полученного ряда. Вычислить f^(9)(0)

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к предмету математический анализ. Темой является ряды Тейлора, а также вычисление производных и радиуса сходимости. Все указанные вопросы относятся к разделу вычислительной математики и к теоретическому анализу рядов и функций.

Задание

Функция: \( f(x) = x \sin^2(x) \)

1. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням \( x \).
2. Найти радиус сходимости \( R \).
3. Вычислить производную 9-го порядка \( f^{(9)}(0) \).

Шаг 1: Представим функцию через известные разложения

Для начала разложим известную функцию \( \sin(x) \) в ряд Тейлора:

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \]

Функция \( \sin^2(x) \) записывается как квадрат этого выражения:

\[ \sin^2(x) = \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \right)^2 \]

Теперь применим разложение для квадрата, с наименее значимыми членами:

\[ \sin^2(x) = x^2 - \frac{2 x^4}{3!} + \dots \]

Тогда функция \( f(x) = x \sin^2(x) \) становится:

\[ f(x) = x \left( x^2 - \frac{2x^4}{3!} + \dots \right) = x^3 - \frac{2x^5}{3!} + \dots \]

Таким образом, ряд Тейлора для \( f(x) \) до пятого порядка можно записать как:

\[ f(x) = x^3 - \frac{x^5}{3} + O(x^7) \]

Шаг 2: Найдем радиус сходимости \( R \)

Так как функция \( \sin(x) \) разлагается в бесконечный ряд, который сходится для всех значений \( x \), наш ряд Тейлора для \( f(x) \) также будет сходиться для всех \( x \). Следовательно, радиус сходимости:

\[ R = \infty \]

Шаг 3: Найдем \( f^{(9)}(0) \)

Члены ряда Тейлора вблизи нуля можно использовать для вычисления производных. Ряд Тейлора функции \( f(x) \) записан в виде:

\[ f(x) = x^3 - \frac{x^5}{3} + O(x^7) \]

То есть первые несколько термов при \( x^3 \), и старших степеней не дают взнос к коэффициентам до \( x^9 \). Таким образом, производная 9-го порядка при \( x=0 \) равна 0.