Разложить функцию (1-x^2)sinx^2 в ряд Тейлора по степеням x найти радиус сходимости полученного ряда

Шаг 1: Определение предмета и раздела

Мы имеем дело с разложением функции в ряд Тейлора — это задача, относящаяся к предмету математический анализ, раздел ряды Тейлора.

Шаг 2: Начало решения задачи

Нам нужно разложить функцию \( f(x) = (1 - x^2) \sin(x^2) \) по степеням \( x \), то есть в ряд Тейлора около нуля, а также определить радиус сходимости полученного ряда. Мы будем использовать тот факт, что функция \( \sin(x) \) имеет знаменитое разложение в ряд Тейлора:

\[ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}. \]

Однако нам нужна функция \( \sin(x^2) \), поэтому заменим \( x \) на \( x^2 \) в этом разложении.

Шаг 3: Разложение функции \( \sin(x^2) \)

Подставим \( x^2 \) вместо \( x \) в разложение для \( \sin(x) \):

\[ \sin(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}. \]

Шаг 4: Разложение функции \( (1 - x^2) \sin(x^2) \)

Теперь можем разложить всю нашу функцию \( f(x) = (1 - x^2) \sin(x^2) \). Для этого просто умножим разложение \( \sin(x^2) \) на \( 1 - x^2 \):

\[ (1 - x^2) \sin(x^2) = \left(1 - x^2\right) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!}. \]

Распишем:

\[ (1 - x^2) \sin(x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{4n+4}}{(2n+1)!}. \]

Шаг 5: Объединение сумм

Теперь объединим эти две суммы в одну, внимательно следя за степенями \( x \):

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( (-1)^n \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} - (-1)^n \frac{x^{4n+4}}{(2n+1)!} \right). \]

Можно немного упростить саму запись:

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} - \frac{x^{4n+4}}{(2n+1)!} \right). \]

Шаг 6: Нахождение радиуса сходимости

Радиус сходимости ряда для функций типа синуса и косинуса (а также для многочленов с этими функциями) обычно определяется на основе поведения коэффициентов степенного ряда. Поскольку функция \( \sin(x^2) \) состоит из полиномов по \( x^2 \) (та же форма, что и для стандартного синуса), радиус сходимости соответствует \( \infty \), как и для обычного разложения функции \( \sin(x) \).

• Разложение функции в ряд Тейлора: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!} - \frac{x^{4n+4}}{(2n+1)!} \right). \]
• Радиус сходимости: \( R = \infty \).

Ответ: