Разложить функцию (1-x^2)sinx^2 в ряд Тейлора по степеням x

Определение предмета задания:

Предмет: Математика (раздел — математический анализ).

Раздел: Ряды Тейлора, разложения в ряды.

Задание:

Нам нужно разложить функцию \( f(x) = (1 - x^2) \sin(x^2) \) в ряд Тейлора по степеням \(x\).

Шаги решения:

1. Найдем разложение функции \(\sin(x)\) в ряд Тейлора:

Стандартное разложение функции \(\sin(x)\) около 0 (в степени \(x\)) выглядит следующим образом:

\[ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \]

Поскольку в нашем случае аргументом \(\sin\) является не \(x\), а \(x^2\), подставим \(x^2\) вместо \(x\):

\[ \sin(x^2) = x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \frac{x^{14}}{7!} + \dots \]

2. Умножаем на \( (1 - x^2) \):

Теперь нам нужно умножить этот ряд на \( (1 - x^2) \). Запишем это так:

\[ (1 - x^2) \sin(x^2) = (1 - x^2) \left( x^2 - \frac{x^6}{3!} + \frac{x^{10}}{5!} - \dots \right) \]

Разложим это произведение, применяя правило распределительного умножения для рядов:

\[ = (1) \cdot \left( x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \dots \right) - x^2 \cdot \left( x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \dots \right) \]

3. Упрощаем выражения:

• Умножаем первую часть:
• \[ 1 \cdot \left( x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \dots \right) = x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}/120 - \dots \]
• Умножаем вторую часть:
• \[ -x^2 \cdot \left( x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}{120} - \dots \right) = -x^4 + \frac{x^8}{6} - \frac{x^{12}}{120} + \dots \]

4. Складываем результаты:

Теперь совмещаем всё в один ряд с общими степенями \(x\):

\[ x^2 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^{10}}/120 - \dots - x^4 + \frac{x^8}{6} - \frac{x^{12}}/120 + \dots \]

Сгруппируем члены одного порядка по степеням \(x\):

\[ = x^2 - x^4 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^8}{6} + \frac{x^{10}}/120 - \frac{x^{12}}/120 + \dots \]

Итого, разложение функции \( f(x) = (1 - x^2) \sin(x^2) \) в ряд Тейлора по степеням \(x\) даёт:

\[ f(x) = x^2 - x^4 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^8}{6} + \frac{x^{10}}/120 - \frac{x^{12}}/120 + \dots \]

Ответ:

\[ x^2 - x^4 - \frac{x^6}{6} + \frac{x^8}{6} + \dots \]