Разложить функции в ряд маклорена и найти их интервалы сходимости

Мы имеем задание по математическому анализу: разложить функции в ряд Маклорена и найти их интервалы сходимости. Давайте разберем каждую функцию по порядку.

1. $\text{(}y=\cos (3x)\text{)}$

Ряд Маклорена для $\text{(}\cos (x)\text{)}$ имеет вид:

$\text{[}\cos (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}\text{]}$

Для функции $\text{(}\cos (3x)\text{)}$, мы заменяем $\text{(}x\text{)}$ на $\text{(}3x\text{)}$:

$\text{[}\cos (3x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(3x{)}^{2n}}{(2n)!}\text{]}$

$\text{[}\cos (3x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{3}^{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}\text{]}$

Интервал сходимости для $\text{(}\cos (3x)\text{)}$ такой же, как и для $\text{(}\cos (x)\text{)}$: $\text{(}(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\text{)}$.

2. $\text{(}y=\ln (3+x)\text{)}$

Рассмотрим ряд Маклорена для функции $\text{(}\ln (1+x)\text{)}$:

$\text{[}\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}\text{]}$

Для $\text{(}y=\ln (3+x)\text{)}$, сначала нужно разложить функцию около точки $\text{(}x=0\text{)}$, где выражение выглядит как $\text{(}\ln (1+\frac{x}{3})\text{)}$:

$\text{[}\ln (3+x)=\ln (3\cdot (1+\frac{x}{3}))=\ln 3+\ln (1+\frac{x}{3})\text{]}$

Используем ряд Маклорена для $\text{(}\ln (1+x)\text{)}$:

$\text{[}\ln (1+\frac{x}{3})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{(\frac{x}{3}{)}^n}{n}\text{]}$

$\text{Extra close brace or missing open brace}$

те , Ginln 2. -3 < x < 3, агл от)-3ona \(ln \):

Так Gi \( y= x] , интервал рыд x . \), \( x -35>3b> диуад на \), (3x]) \). сть x \), интервал сходимости $\text{(}(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\text{)}$.

3. $\text{(}y=e^{2x}\text{)}$

Ряд Маклорена для $\text{(}{e}^x\text{)}$ имеет вид:

$\text{[}{e}^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}\text{]}$

Для функции $\text{(}{e}^{2x}\text{)}$:

$\text{[}{e}^{2x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2x{)}^n}{n!}\text{]}$

$\text{[}{e}^{2x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n{x}^n}{n!}\text{]}$

Интервал сходимости для $\text{(}{e}^{2x}\text{)}$ как и для $\text{(}{e}^x\text{)}$, который равен $\text{(}(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\text{)}$.

Ответ

1. $\text{(}\cos (3x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{3}^{2n}{x}^{2n}}{(2n)!}\text{)}$, интервал сходимости $\text{(}(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\text{)}$.

2. $\text{(}\ln (3+x)=\ln 3+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n\cdot 3^n}\text{)}$, интервал сходимости $\text{(}(-3,3)\text{)}$.

3. $\text{(}{e}^{2x}=\sum _{n-0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n{x}^n}{n!}\text{)}$, интервал сходимости $\text{(}(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })\text{)}$.

Таким образом, мы разложили каждую функцию в ряд Маклорена и определили их интервалы сходимости.