Разложить функции в ряд маклорена и найти их интервалы сходимости

Условие:

Разложить функции в ряд маклорена и найти их интервалы сходимости

Условие: Разложить функции в ряд маклорена и найти их интервалы сходимости

Решение:

Мы имеем задание по математическому анализу: разложить функции в ряд Маклорена и найти их интервалы сходимости. Давайте разберем каждую функцию по порядку.

1. \(y=cos(3x)\)

Ряд Маклорена для \(cos(x)\) имеет вид:

\[cos(x)=n=0(1)nx2n(2n)!\]

Для функции \(cos(3x)\), мы заменяем \(x\) на \(3x\):

\[cos(3x)=n=0(1)n(3x)2n(2n)!\]

\[cos(3x)=n=0(1)n32nx2n(2n)!\]

Интервал сходимости для \(cos(3x)\) такой же, как и для \(cos(x)\): \((,)\).

2. \(y=ln(3+x)\)

Рассмотрим ряд Маклорена для функции \(ln(1+x)\):

\[ln(1+x)=n=1(1)n1xnn\]

Для \(y=ln(3+x)\), сначала нужно разложить функцию около точки \(x=0\), где выражение выглядит как \(ln(1+x3)\):

\[ln(3+x)=ln(3(1+x3))=ln3+ln(1+x3)\]

Используем ряд Маклорена для \(ln(1+x)\):

\[ln(1+x3)=n=1(1)n1(x3)nn\]

Extra close brace or missing open brace

те , Ginln 2. -3 < x < 3, агл от)-3ona \(ln \):

Так Gi \( y= x] , интервал рыд x . \), \( x -35>3b> диуад на \), (3x]) \). сть x \), интервал сходимости \((,)\).

3. \(y=e2x\)

Ряд Маклорена для \(ex\) имеет вид:

\[ex=n=0xnn!\]

Для функции \(e2x\):

\[e2x=n=0(2x)nn!\]

\[e2x=n=02nxnn!\]

Интервал сходимости для \(e2x\) как и для \(ex\), который равен \((,)\).

Ответ

1. \(cos(3x)=n=0(1)n32nx2n(2n)!\), интервал сходимости \((,)\).

2. \(ln(3+x)=ln3+n=1(1)n1xnn3n\), интервал сходимости \((3,3)\).

3. \(e2x=n02nxnn!\), интервал сходимости \((,)\).

Таким образом, мы разложили каждую функцию в ряд Маклорена и определили их интервалы сходимости.

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут