Разложить функции в ряд маклорена и найти их интервалы сходимости

Мы имеем задание по математическому анализу: разложить функции в ряд Маклорена и найти их интервалы сходимости. Давайте разберем каждую функцию по порядку.

1. \( y = \cos(3x) \)

Ряд Маклорена для \(\cos(x)\) имеет вид:

\[\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\]

Для функции \(\cos(3x)\), мы заменяем \(x\) на \(3x\):

\[\cos(3x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (3x)^{2n}}{(2n)!}\]

\[\cos(3x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n} x^{2n}}{(2n)!}\]

Интервал сходимости для \( \cos(3x) \) такой же, как и для \( \cos(x) \): \( (-\infty, \infty) \).

2. \( y = \ln(3 + x) \)

Рассмотрим ряд Маклорена для функции \(\ln(1 + x)\):

\[\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\]

Для \(y = \ln(3 + x)\), сначала нужно разложить функцию около точки \(x = 0\), где выражение выглядит как \( \ln(1 + \frac{x}{3}) \):

\[\ln(3 + x) = \ln(3 \cdot (1 + \frac{x}{3})) = \ln 3 + \ln(1 + \frac{x}{3})\]

Используем ряд Маклорена для \( \ln(1 + x) \):

\[\ln(1 + \frac{x}{3}) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(\frac{x}{3})^n}{n}\]

\[= \sum_{n-п2} (span>1)txn>73)ain.)-) )t)n}$]

те , Ginln 2. -3 < x < 3, агл от)-3ona \(ln \):

Так Gi \( y= x] , интервал рыд x . \), \( x -35>3b> диуад на \), (3x]) \). сть x \), интервал сходимости \( (-\infty, \infty) \).

3. \( y = e^{2x} \)

Ряд Маклорена для \( e^x \) имеет вид:

\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]

Для функции \( e^{2x} \):

\[ e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}\]

\[ e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!}\]

Интервал сходимости для \( e^{2x} \) как и для \( e^x \), который равен \( (-\infty, \infty) \).

Ответ

1. \( \cos(3x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 3^{2n} x^{2n}}{(2n)!} \), интервал сходимости \( (-\infty, \infty) \).

2. \( \ln(3 + x) = \ln 3 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n \cdot 3^n} \), интервал сходимости \( (-3, 3) \).

3. \( e^{2x} = \sum_{n-0}^{\infty} \frac{2^n x^n}{n!} \), интервал сходимости \( (-\infty, \infty) \).

Таким образом, мы разложили каждую функцию в ряд Маклорена и определили их интервалы сходимости.