Разложить функцию в ряде Фурье на заданном интервале

Предмет: Математика

Раздел: Ряды Фурье

Нам нужно разложить функцию ( f(x) = \frac{x}{2} + 4 ) в ряд Фурье на заданном интервале ([-1, 1]).

Шаг 1. Общая формула ряда Фурье

Функция ( f(x) ) может быть представлена в виде ряда Фурье:

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n \cos(n \pi x) + b_n \sin(n \pi x)\right),

где коэффициенты ( a_0 ), ( a_n ), ( b_n ) определяются следующим образом:

a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx,

a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx,

b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \, dx.

Здесь ( L = 1 ), так как интервал ([-1, 1]) имеет длину ( 2L = 2 ).

Шаг 2. Вычисление коэффициента ( a_0 )

Подставляем функцию ( f(x) = \frac{x}{2} + 4 ) в формулу для ( a_0 ):

a_0 = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \left(\frac{x}{2} + 4\right) \, dx.

Разделим интеграл на два слагаемых:

a_0 = \frac{1}{2} \left(\int_{-1}^{1} \frac{x}{2} \, dx + \int_{-1}^{1} 4 \, dx\right).

1. Для первого интеграла:

\int_{-1}^{1} \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} x \, dx = \frac{1}{2} \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} \left(\frac{1^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}\right) = \frac{1}{2} (0) = 0.

2. Для второго интеграла:

\int_{-1}^{1} 4 \, dx = 4 \int_{-1}^{1} 1 \, dx = 4 \cdot \left[x\right]_{-1}^{1} = 4 \cdot (1 - (-1)) = 4 \cdot 2 = 8.

Подставляем:

a_0 = \frac{1}{2} (0 + 8) = 4.

Шаг 3. Вычисление коэффициентов ( a_n )

Для ( a_n ):

a_n = \int_{-1}^{1} \left(\frac{x}{2} + 4\right) \cos(n \pi x) \, dx.

Разделим интеграл на два слагаемых:

a_n = \int_{-1}^{1} \frac{x}{2} \cos(n \pi x) \, dx + \int_{-1}^{1} 4 \cos(n \pi x) \, dx.

1. Рассмотрим первый интеграл:

\int_{-1}^{1} \frac{x}{2} \cos(n \pi x) \, dx.

Этот интеграл равен нулю, так как ( x \cos(n \pi x) ) — нечётная функция, а интеграл нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.

2. Рассмотрим второй интеграл:

\int_{-1}^{1} 4 \cos(n \pi x) \, dx = 4 \int_{-1}^{1} \cos(n \pi x) \, dx.

Интеграл от ( \cos(n \pi x) ) на симметричном интервале также равен нулю, так как ( \cos(n \pi x) ) — чётная функция, а её интеграл на ([-1, 1]) с периодом ( 2 ) обнуляется.

Следовательно, ( a_n = 0 ).

Шаг 4. Вычисление коэффициентов ( b_n )

Для ( b_n ):

b_n = \int_{-1}^{1} \left(\frac{x}{2} + 4\right) \sin(n \pi x) \, dx.

Разделим интеграл на два слагаемых:

b_n = \int_{-1}^{1} \frac{x}{2} \sin(n \pi x) \, dx + \int_{-1}^{1} 4 \sin(n \pi x) \, dx.

1. Рассмотрим первый интеграл:

\int_{-1}^{1} \frac{x}{2} \sin(n \pi x) \, dx.

Этот интеграл вычисляется по частям, но он равен нулю, так как ( x \sin(n \pi x) ) — нечётная функция.

2. Рассмотрим второй интеграл:

\int_{-1}^{1} 4 \sin(n \pi x) \, dx.

Этот интеграл также равен нулю, так как ( \sin(n \pi x) ) — нечётная функция.

Следовательно, ( b_n = 0 ).

Шаг 5. Итоговое разложение

Поскольку ( a_0 = 4 ), а все остальные коэффициенты равны нулю (( a_n = 0 ), ( b_n = 0 )), ряд Фурье функции ( f(x) ) на интервале ([-1, 1]) имеет вид:

f(x) = 4.

Это означает, что функция ( f(x) ) равна своему среднему значению на данном интервале.