Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням

Это задание по математике, более конкретно - по высшей алгебре, в разделе, связанном с рядами Тейлора.

Исходная функция: \[ f(x) = x - \sin^2(3x) \]

Цель задания - разложить эту функцию в ряд Тейлора по степеням \( x \) вокруг точки \( x = 0 \), также известный как ряд Маклорена.

Разложение в ряд Тейлора для функции \( f(x) \) вокруг точки \( a \) задается как: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]

где \( f^{(n)}(a) \) обозначает \( n \)-ую производную функции \( f \) в точке \( a \).

Раскладывая функцию \( \sin(x) \) в ряд Тейлора вокруг точки 0, получаем: \[ \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]

Теперь мы можем подставить \( 3x \) вместо \( x \) в этом ряде и возвести получившееся выражение в квадрат, чтобы получить ряд для \( \sin^2(3x) \): \[ \sin^2(3x) = \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(3x)^{2n+1}}{(2n+1)!} \right)^2 \]

Однако, это прямое умножение рядов будет довольно сложным и требует вычисления коэффициентов для каждой степени \( x \) путем раскрытия скобок. Чтобы упростить задачу, мы можем заметить, что \( \sin^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x) \), и воспользоваться известным рядом для косинуса: \[ \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]

Таким образом, разложение для \( \sin^2(3x) \) становится: \[ \sin^2(3x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(6x) \] \[ \sin^2(3x) = \frac{1/2} - \frac{1/2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(6x)^{2n}}{(2n)!} \right) \]

Теперь разложим \( f(x) \) в ряд: \[ f(x) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(6x)^{2n}}{(2n)!} \right) \] \[ f(x) = x - \frac{1/2} + \frac{1/2} - \frac{1/2} \left( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(6x)^{2n}}{(2n)!} \right) \] \[ f(x) = x + \frac{1/2} \left( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{(6x)^{2n}}{(2n)!} \right) \]

Мы почленно вычитаем постоянную \( \frac{1}{2} \), оставляя ее без изменений, и учитываем, что вычитание суммы эквивалентно изменению знаков у всех членов суммы. Обратите внимание, что я начал суммирование с \( n = 1 \), потому что при \( n = 0 \) член ряда для \( \cos(6x) \) равен 1, и его вклад уже учтен, когда мы вычли \( \frac{1/2} \).