Преобразование указанной функции и ее разложение в ряд Тейлора — это задача из раздела математического анализа, которая касается разложения функций в ряды.
Задача: Нам нужно разложить функцию \( f(z) = \ln(z - 2) \) в ряд Тейлора в окрестности точки \( z_0 = 4 \).
Шаг 1: Представление функции
Для начала нужно записать функцию, которую будем раскладывать: \[ f(z) = \ln(z - 2) \]
Нам нужно разложить эту функцию в ряд Тейлора в окрестности точки \(z_0 = 4\), то есть найти: \[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n \]
Шаг 2: Вычисление функции и ее производных в точке \(z_0 = 4\)
Функция в точке \(z_0 = 4\):
\[ f(4) = \ln(4 - 2) = \ln(2) \]
Первая производная:
Первая производная от \( f(z) = \ln(z - 2) \) равна: \[ f'(z) = \frac{1}{z - 2} \]
Теперь подставляем \( z_0 = 4 \): \[ f'(4) = \frac{1}{4 - 2} = \frac{1}{2} \]
Вторая производная:
Вторая производная от \( f'(z) = \frac{1}{z - 2} \) будет: \[ f''(z) = -\frac{1}{(z - 2)^2} \]
Подставляем \(z_0 = 4\): \[ f''(4) = -\frac{1}{(4 - 2)^2} = -\frac{1}{4} \]
Третья производная:
Посчитаем третью производную: \[ f^{(3)}(z) = \frac{2}{(z - 2)^3} \]
Подставляем \(z_0 = 4\): \[ f^{(3)}(4) = \frac{2}{(4 - 2)^3} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \]
Четвертая производная:
\[ f^{(4)}(z) = -\frac{6}{(z - 2)^4} \]
Подставляем \(z_0 = 4\): \[ f^{(4)}(4) = -\frac{6}{(4 - 2)^4} = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8} \]
Шаг 3: Запись ряда Тейлора
Теперь мы можем записать ряд Тейлора для функции \(f(z)\) в окрестности точки \(z_0 = 4\). Формула имеет вид: \[ f(z) = f(4) + f'(4)(z - 4) + \frac{f''(4)}{2!}(z - 4)^2 + \frac{f^{(3)}(4)}{3!}(z - 4)^3 + \dots \]
Подставляем найденные значения: \[ f(z) = \ln(2) + \frac{1}{2}(z - 4) - \frac{1}{8}(z - 4)^2 + \frac{1}{24}(z - 4)^3 + \dots \]
Ответ:
Функция \(f(z) = \ln(z - 2)\) разложена в ряд Тейлора в окрестности точки \(z_0 = 4\), и результат разложения: \[ f(z) = \ln(2) + \frac{1}{2}(z - 4) - \frac{1}{8}(z - 4)^2 + \frac{1}{24}(z - 4)^3 + \dots \]