Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Предмет: Математика.
Раздел: Комплексный анализ, в частности, разложение функции в ряд Лорана в окрестности заданной точки.
Дана функция:
\[ f(z) = \frac{\sin\left(\frac{z - 1}{z - 3}\right)}{z - 3} \]Необходимо разложить её в ряд Лорана в окрестности точки \(z_0 = 3\).
Ряд Лорана — это представление аналитической функции в виде:
\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - z_0)^n \]где ряд может состоять как из положительных степеней \( (z - z_0)^n \), так и из отрицательных (из-за возможной особенности первого рода, например полюса).
— Нам нужно разложить функцию \( f(z) \) вокруг точки \( z_0 = 3 \).
Перепишем функцию через величину \( t = z - 3 \), чтобы упростить вычисления (так как разлагаем в точке \( z_0 = 3 \)):
\[ z - 3 = t \quad \text{=>} \quad z = t + 3 \]Тогда функция \( f(z) \) примет вид:
\[ f(z) = \frac{\sin\left(\frac{t + 3 - 1}{t}\right)}{t} = \frac{\sin\left(\frac{t + 2}{t}\right)}{t} \]Используем стандартное разложение функции \(\sin x\) в ряд Тейлора вокруг нуля:
\[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5) \]Теперь разложим выражение \(\frac{t + 2}{t}\), которое входит в аргумент синуса:
\[ \frac{t + 2}{t} = 1 + \frac{2}{t} \]Подставим это в разложение синуса:
\[ \sin\left(1 + \frac{2}{t}\right) \approx \left(1 + \frac{2}{t}\right) - \frac{\left(1 + \frac{2}{t}\right)^3}{6} + O\left(\left(1 + \frac{2}/{t}\right)^5\right) \]Теперь необходимо разложить это выражение на несколько первых членов. Сделаем это подробно:
Подставляем это приближение в исходное выражение для \(f(z)\):
\[ f(z) \approx \frac{1 + \frac{2}/{t}}{t} \]Отдельно разложим каждую часть:
\[ \frac{1}/{t} + \frac{2}/{t^2} = \frac{1}/{z - 3} + \frac{2}/{(z - 3)^2} \]Разложение функции в ряд Лорана в окрестности \( z_0 = 3 \) имеет вид:
\[ f(z) = \frac{1}/{z-3} + \frac{2}/{(z-3)^2} + O\left((z - 3)^n\right) \]Такое представление включает главные члены ряда Лорана, которые учитывают вычит и полюс функции в точке \( z = 3 \).