Разложить функцию в ряд Фурье в интервале ((a, b))

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Ряды Фурье

Задание:
Разложить функцию в ряд Фурье в интервале ((a, b)) для варианта 8.

Из таблицы 4.4:

• Функция: f(x) = 1 + x
• Интервал: a = -1, b = 1

🔹 Шаг 1: Общая формула ряда Фурье на интервале ([a, b])

Пусть функция ( f(x) ) задана на отрезке ([a, b]), длина интервала: L = \frac{b - a}{2}

Тогда функция ( f(x) ) может быть разложена в ряд Фурье по формуле:

 f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) + b_n \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \right] 

где коэффициенты Фурье находятся по формулам:

 a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx 

 a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \, dx 

 b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) \, dx 

🔹 Шаг 2: Подставим значения

Интервал: ([-1, 1]), значит: L = \frac{1 - (-1)}{2} = 1

Функция: f(x) = 1 + x

🔹 Шаг 3: Вычислим коэффициенты

1. Нулевой коэффициент (a_0):

 a_0 = \int_{-1}^{1} (1 + x) \, dx = \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} = \left(1 + \frac{1}{2}\right) - \left(-1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 

Так как L = 1, то:  a_0 = \frac{1}{1} \cdot 2 = 2 

2. Коэффициенты (a_n):

 a_n = \int_{-1}^{1} (1 + x) \cos(n\pi x) \, dx 

Разделим на два интеграла:

 a_n = \int_{-1}^{1} \cos(n\pi x) \, dx + \int_{-1}^{1} x \cos(n\pi x) \, dx 

• Первый интеграл: \int_{-1}^{1} \cos(n\pi x) \, dx — нечётная функция на симметричном интервале, интеграл равен 0.

• Второй интеграл: \int_{-1}^{1} x \cos(n\pi x) \, dx — чётная функция, можно удвоить интеграл от 0 до 1:

 \int_{-1}^{1} x \cos(n\pi x) \, dx = 0 \quad \text{(так как } x \cos(n\pi x) \text{ нечётная функция)} 

Итак: a_n = 0

3. Коэффициенты (b_n):

 b_n = \int_{-1}^{1} (1 + x) \sin(n\pi x) \, dx = \int_{-1}^{1} \sin(n\pi x) \, dx + \int_{-1}^{1} x \sin(n\pi x) \, dx 

• Первый интеграл: \int_{-1}^{1} \sin(n\pi x) \, dx = 0 (нечётная функция)

• Второй интеграл: используем интегрирование по частям:

Пусть:

• u = x, dv = \sin(n\pi x) dx
• Тогда du = dx, v = -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi x)

 \int x \sin(n\pi x) dx = -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) + \frac{1}{n\pi} \int \cos(n\pi x) dx = -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) + \frac{1}{(n\pi)^2} \sin(n\pi x) 

Вычислим определённый интеграл:

 \int_{-1}^{1} x \sin(n\pi x) dx = \left[ -\frac{x}{n\pi} \cos(n\pi x) + \frac{1}{(n\pi)^2} \sin(n\pi x) \right]_{-1}^{1} 

Подставим:

• В точке 1: -\frac{1}{n\pi} \cos(n\pi) + \frac{1}{(n\pi)^2} \sin(n\pi) = -\frac{1}{n\pi} (-1)^n + 0 = \frac{(-1)^n}{n\pi}

• В точке -1: -\frac{(-1)}{n\pi} \cos(-n\pi) + \frac{1}{(n\pi)^2} \sin(-n\pi) = \frac{1}{n\pi} (-1)^n + 0 = \frac{(-1)^n}{n\pi}

Итак:  \int_{-1}^{1} x \sin(n\pi x) dx = \frac{(-1)^n}{n\pi} - \frac{(-1)^n}{n\pi} = \frac{2(-1)^n}{n\pi} 

Следовательно:  b_n = \frac{1}{1} \cdot \frac{2(-1)^n}{n\pi} = \frac{2(-1)^n}{n\pi} 

🔹 Шаг 4: Ответ — Ряд Фурье функции

 f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos(n\pi x) + b_n \sin(n\pi x) \right] 

Подставим:

• a_0 = 2
• a_n = 0
• b_n = \frac{2(-1)^n}{n\pi}

Итог:

 f(x) \sim 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n}{n\pi} \sin(n\pi x) 

✅ Ответ:
Функция f(x) = 1 + x на интервале [-1, 1] имеет разложение в ряд Фурье:

 f(x) \sim 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^n}{n\pi} \sin(n\pi x)