Разложить функцию в ряд Фурье по синусам на отрезке

Данное задание относится к предмету математический анализ, разделу рядов Фурье.

Задание 5 просит разложить функцию \( y = x - 2 \) в ряд Фурье по синусам на отрезке \( [0; 2] \).

Алгоритм решения:

Для разложения функции \( y(x) \) на отрезке \( [0; 2] \) в ряд Фурье по синусам, функция должна удовлетворять условию нечетности относительно середины отрезка. Однако так как \( y = x - 2 \) нечетная, будем разлагать только её синусоиды.

Для функции \( y(x) \) на \( [0, L] \), где \( L = 2 \), ряд Фурье имеет вид:

\[ y(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) \]

Коэффициенты для синусоид \( b_n \) рассчитываются по формуле:

\[ b_n = \frac{2}{L} \int_0^L y(x) \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx \]

Где \( L = 2 \), а \( y(x) = x - 2 \) для \( L = 2 \). Подставим значения в формулу:

\[ b_n = \frac{2}{2} \int_0^2 (x - 2) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx \]

\[ b_n = \int_0^2 (x - 2) \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx \]

Теперь разделим интеграл на два интеграла:

\[ b_n = \int_0^2 x \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx - 2 \int_0^2 \sin\left(\frac{n\pi x}{2}\right) dx \]

Интегрирование по частям:

Для первого интеграла:

\[ \int x \sin(\alpha x) dx = -\frac{x \cos(\alpha x)}{\alpha} + \frac{\sin(\alpha x)}{\alpha^2} + C \]

где \( \alpha = \frac{n\pi}{2} \).

Для второго интеграла:

\[ \int \sin(\alpha x) dx = -\frac{\cos(\alpha x)}{\alpha} + C \]

Выполнив эти шаги, подставляем границы интегрирования \( 0 \) и \( 2 \), упрощаем выражение и получаем коэффициенты \( b_n \).

Окончательный вид ряда Фурье:

Функция \( y(x) = x - 2 \) разложится в бесконечный ряд Фурье по синусам с найденными коэффициентами. Это дает нам требуемое разложение функции в ряд Фурье по синусам.