Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке

Предмет: Математика

Раздел: Ряды Фурье

Задание: Разложить функцию ( y = x ) в ряд Фурье на отрезке ([-2; 2]).

Решение:

Рассмотрим разложение функции ( y = x ) в тригонометрический ряд Фурье.

1. Общая формула ряда Фурье:

Функция ( y(x) ) на отрезке ([-L; L]) разлагается в ряд Фурье в виде:
 y(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L} \right), 
где коэффициенты ( a_0 ), ( a_n ) и ( b_n ) вычисляются по формулам:

 a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^L y(x) \, dx, 

 a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L y(x) \cos\frac{n\pi x}{L} \, dx, 

 b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^L y(x) \sin\frac{n\pi x}{L} \, dx. 

В данном случае ( L = 2 ), так как рассматриваемый отрезок ([-2; 2]).

2. Вычисление коэффициентов:

(a) Коэффициент ( a_0 ):

 a_0 = \frac{1}{2} \int_{-2}^2 x \, dx. 

Вычислим интеграл:
 \int_{-2}^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = 2 - 2 = 0. 

Следовательно, ( a_0 = 0 ).

(b) Коэффициенты ( a_n ):

 a_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^2 x \cos\frac{n\pi x}{2} \, dx. 

Интеграл можно решить по частям. Пусть:
 u = x, \quad dv = \cos\frac{n\pi x}{2} \, dx. 

Тогда:
 du = dx, \quad v = \frac{2}{n\pi} \sin\frac{n\pi x}{2}. 

Используем метод интегрирования по частям:
 \int x \cos\frac{n\pi x}{2} \, dx = x \cdot \frac{2}{n\pi} \sin\frac{n\pi x}{2} - \int \frac{2}{n\pi} \sin\frac{n\pi x}{2} \, dx. 

Второй интеграл:
 \int \sin\frac{n\pi x}{2} \, dx = -\frac{2}{n\pi} \cos\frac{n\pi x}{2}. 

Подставим:
 \int x \cos\frac{n\pi x}{2} \, dx = \frac{2x}{n\pi} \sin\frac{n\pi x}{2} + \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\frac{n\pi x}{2}. 

Подставим пределы интегрирования ([-2; 2]):
 a_n = \frac{1}{2} \left[ \frac{2x}{n\pi} \sin\frac{n\pi x}{2} + \frac{4}{(n\pi)^2} \cos\frac{n\pi x}{2} \right]_{-2}^2. 

После подстановки видно, что ( a_n = 0 ), так как синус и косинус на концах отрезка дают симметричные значения.

(c) Коэффициенты ( b_n ):

 b_n = \frac{1}{2} \int_{-2}^2 x \sin\frac{n\pi x}{2} \, dx. 

Решим аналогично:
 u = x, \quad dv = \sin\frac{n\pi x}{2} \, dx. 

Тогда:
 du = dx, \quad v = -\frac{2}{n\pi} \cos\frac{n\pi x}{2}. 

Интегрируем по частям:
 \int x \sin\frac{n\pi x}{2} \, dx = -\frac{2x}{n\pi} \cos\frac{n\pi x}{2} + \int \frac{2}{n\pi} \cos\frac{n\pi x}{2} \, dx. 

Второй интеграл:
 \int \cos\frac{n\pi x}{2} \, dx = \frac{2}{n\pi} \sin\frac{n\pi x}{2}. 

Подставим:
 \int x \sin\frac{n\pi x}{2} \, dx = -\frac{2x}{n\pi} \cos\frac{n\pi x}{2} + \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\frac{n\pi x}{2}. 

Подставим пределы интегрирования ([-2; 2]):
 b_n = \frac{1}{2} \left[ -\frac{2x}{n\pi} \cos\frac{n\pi x}{2} + \frac{4}{(n\pi)^2} \sin\frac{n\pi x}{2} \right]_{-2}^2. 

После вычислений:
 b_n = \frac{8}{n\pi} \quad \text{для нечетных } n, \quad b_n = 0 \quad \text{для четных } n. 

3. Итоговое разложение:

Подставляем найденные коэффициенты в общий вид ряда Фурье:
 y(x) = \sum_{n=1, 3, 5, \dots}^\infty \frac{8}{n\pi} \sin\frac{n\pi x}{2}. 

Это разложение функции ( y = x ) в ряд Фурье на отрезке ([-2; 2]).