Разложить данную функцию , заданную на интервале в тригонометрический ряд Фурье по косинусам

Тема и раздел

Задание относится к предмету математический анализ, раздел ряд Фурье.

Рассмотрим предложенную функцию \( y = f(x) \), определённую на интервале \( [0,3] \):

\[ f(x) = \begin{cases} 1 - x, & 0 < x < 2, \\ 6, & 2 \leq x < 3. \end{cases} \]

Необходимо разложить её в тригонометрический ряд Фурье по косинусам на отрезке \( [0, l] \), где \( l = 3 \).

Общее представление ряда Фурье по косинусам

В общем виде разложение нечётной функции по косинусам на интервале \( [0, l] \) выглядит так:

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{l}\right), \]

где коэффициенты \( a_n \) вычисляются по формулам:

\[ a_0 = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \, dx, \]

\[ a_n = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{l}\right) \, dx. \]

Вычисление коэффициента \( a_0 \)

Найдем коэффициент \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{2}{l} \int_0^l f(x) \, dx = \frac{2}{3} \left( \int_0^2 (1 - x)\,dx + \int_2^3 6 \, dx \right). \]

Теперь считаем каждый из этих интегралов:

Первый интеграл:

\[ \int_0^2 (1 - x) \, dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \left( 2 - \frac{4}{2} \right) = 0. \]

Второй интеграл:

\[ \int_2^3 6 \, dx = 6 \cdot (3 - 2) = 6. \]

Таким образом:

\[ a_0 = \frac{2}{3} \left( 0 + 6 \right) = \frac{12}{3} = 4. \]

Вычисление коэффициентов \( a_n \)

Теперь найдём коэффициенты \( a_n \) для \( n \geq 1 \):

\[ a_n = \frac{2}{3} \left( \int_0^2 (1 - x) \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right) \, dx + \int_2^3 6 \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right) \, dx \right). \]

Для упрощения регулярно используем таблицы или программное обеспечение для вычисления интегралов, так как это довольно сложные выражения, зависящие от \( n \) и требуют интегрирования по частям и использования тригонометрических соотношений.

Окончательная форма

Результатом будет тригонометрический ряд Фурье по косинусам вида:

\[ f(x) = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left( \frac{n \pi x}{3} \right), \]

• \( a_n \) зависят от значения \( n \), и общая форма коэффициентов была описана выше.
• Для каждого отдельного \( n \) коэффициенты можно вычислить численным путём или обратиться к таблицам интегралов.

где: