Разложи функцию в ряд по степеням x. В ответ указать чему равен а8

Данный пример относится к разделу математического анализа, к теме разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора/Маклорена).

Дана функция: \[ f(x) = \ln(1 + x^2) \]

Необходимо разложить её в степенной ряд по степеням \(x\) и указать коэффициент \(a_8\), то есть коэффициент при \(x^8\).

Решение:

Шаг 1. Формула разложения логарифма в ряд

Для функции натурального логарифма \(\ln(1 + z)\) известно разложение в степенной ряд (при \(|z| < 1\)):

\[ \ln(1 + z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n}. \]

В данном случае \(z = x^2\). Подставляем это в формулу.

Шаг 2. Замена \(z = x^2\)

Подставляем \(z = x^2\) в разложение \(\ln(1 + z)\):

\[ \ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^2}{2} + \frac{(x^2)^3}{3} - \frac{(x^2)^4}{4} + \dots \]

Упростим степени \(x^2\):

\[ \ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + \dots. \]

Шаг 3. Найдём коэффициент \(a_8\)

В разложении функции коэффициент \(a_8\) соответствует члену с \(x^8\). Видим, что данный член разложения:

\[ -\frac{x^8}{4}. \]

Следовательно, коэффициент \(a_8 = -\frac{1}{4}\).

Ответ:

\[ a_8 = -\frac{1}{4}. \]