Разложение функций в ряд Тейлора и вычисления членов ряда с определенной точностью

Данное задание относится к курсу математического анализа и включает в себя темы разложения функций в ряд Тейлора и вычисления членов ряда с определенной точностью.

Рассмотрим задание 9. Дано две функции, нужно выбрать одну и разложить её в ряд Тейлора по степеням \(x\), а также указать радиус сходимости. Выберем \( f(x) = x^4 e^{-5x} \).

1. Напомним, что ряд Тейлора для функции \( e^u \) разлагается следующим образом: \[ e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!} \]
2. Подставим \( u = -5x \): \[ e^{-5x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5x)^n}{n!} \]
3. Умножим полученный ряд на \( x^4 \): \[ x^4 e^{-5x} = x^4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-5)^n x^{n+4}}{n!} \]
   Таким образом, мы получили разложение функции \( f(x)=x^4 e^{-5x} \) в ряд Тейлора.
4. Радиус сходимости ряда определяется по формуле: \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|\frac{(-5)^n}{n!}|}} \]
   Так как \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty \), то \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} = 0 \), и радиус сходимости \( R \) равен бесконечности.