Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

Этот пример является задачей из раздела математического анализа, а именно — разложения функции в тригонометрический ряд Фурье.

Дана функция: \[ y = |x|, \ x \in [-\pi, \pi] \]

Для разложения функции \( y = |x| \) в тригонометрический ряд Фурье, нам необходимо найти коэффициенты ряда.

1. Выразим функцию в виде суммы рядов Фурье. Ряд Фурье функции \( f(x) \) на интервале \([-L, L]\) имеет вид: \[ f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) + b_n \sin\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \right) \]
Так как наша функция \( y = |x| \) является четной, все коэффициенты \( b_n \) будут равны нулю: \[ b_n = 0 \]
2. Найдем коэффициенты \( a_0 \) и \( a_n \). Коэффициент \( a_0 \) вычисляется как: \[ a_0 = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx \]
В нашем случае \( L = \pi \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \, dx \] Выразим этот интеграл: \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} (-x) \, dx + \int_{0}^{\pi} x \, dx \right) \] \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-\pi}^{0} + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} \right) \] \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( 0 - \left( -\frac{\pi^2}{2} \right) + \frac{\pi^2}{2} - 0 \right) \] \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \cdot \pi^2 = \frac{\pi}{2} \] Теперь найдем коэффициенты \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n \pi x}{L}\right) dx \] В нашем случае: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |x| \cos(nx) \, dx \] Так как функция четная, интеграл на симметричном интервале можно выразить как удвоенный интеграл от 0 до \(\pi\): \[ a_n = \frac{2}/\{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \] Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям: \[ \int x \cos(nx) \, dx = x \left( \frac{\sin(nx)}{n} \right) - \int \left( \frac{\sin(nx)}{n} \right) dx \] \[ = \frac{x \sin(nx)}{n} + \frac{\cos(nx)/}{n^2} \] Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до \(\pi\): \[ \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx = \left[ \frac{x \sin(nx)}/}{n} \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}/}{n^2} \left[ \cos(nx) \right]_{0}^{\pi} \] \[ = \frac{\pi \sin(n\pi)}/}{n} - \frac{0 \cdot \sin(0)}/}{n} + \frac{1}/}{n^2} \left( (-1)^n - 1 \right) \] \[ = \frac{1}/}{n^2} ( (-1)^n - 1 ) \] Таким образом, \( a_n \) будет: \[ a_n = \frac{2}/}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \] \[ = \frac{2}/}{\pi} \cdot \frac{1}/}{n^2} \left( (-1)^n - 1 \right) \] \[ = \frac{2}/}{n^2 \pi} ((-1)^n - 1) \] Следовательно, ряд Фурье для функции \( y = |x| \) на интервале \([-π, π]\) будет: \[ y = |x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}/}{\pi} \sum_{n=1,3,5,\ldots}^\infty \frac{\cos(nx)}/}{n^2} \] где суммирование проходит по нечетным числам \( n = 1, 3, 5, \ldots \).

Надеюсь, это объяснение было полезным.