Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Разложение функции в ряд Тейлора в определенной точке
Условие:
Решение:
Задание 18 принадлежит предмету математики, а именно разделу математического анализа, и требует разложения функции в ряд Тейлора в определенной точке. Вот максимально подробное решение:
Задание 18. Разложить в ряд Тейлора по степеням (x-1) функцию \( f(x) = e^{3x} \) и указать область сходимости.Решение:
1. Формула ряда Тейлора: Для получения ряда Тейлора функции \( f(x) \) в точке \( a \), мы используем следующую формулу: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \] Нам нужно разложить \( f(x) \) по степеням \( (x-1) \), то есть \( a = 1 \). 2. Нахождение производных: Функция \( f(x) = e^{3x} \). Найдём её производные: \[ f(x) = e^{3x} \] Первая производная: \[ f'(x) = 3e^{3x} \] Вторая производная: \[ f''(x) = 9e^{3x} \] Третья производная: \[ f'''(x) = 27e^{3x} \] И так далее. В общем случае \( n \)-я производная: \[ f^{(n)}(x) = 3^n e^{3x} \] 3. Подставим \( x = 1 \): \[ f(1) = e^3 \] \[ f'(1) = 3e^3 \] \[ f''(1) = 9e^3 \] \[ f'''(1) = 27e^3 \] В общем случае: \[ f^{(n)}(1) = 3^n e^3 \] 4. Составим ряд Тейлора: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(1)}{n!} (x-1)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n e^3}{n!} (x-1)^n \] Мы можем вынести \( e^3 \) за скобки: \[ f(x) = e^3 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3(x-1))^n}{n!} \] 5. Упростим выражение: Заметим, что сумма: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3(x-1))^n}{n!} \] является разложением в ряд Тейлора экспоненциальной функции \( e^{3(x-1)} \): \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(3(x-1))^n}{n!} = e^{3(x-1)} \] Таким образом, \[ f(x) = e^3 \cdot e^{3(x-1)} = e^{3x} \] Это решение показывает, что наше разложение верно, так как: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n!}(x-1)^n = e^{3(x-1)} \] 6. Область сходимости: Для экспоненциальной функции \( e^{3x} \) область сходимости равна всей комплексной плоскости, т.е.: \[ \text{Область сходимости} : x \in (-\infty, +\infty) \]Ответ: Разложение функции \( f(x) = e^{3x} \) по степеням \( (x-1) \) в ряд Тейлора: \[ e^{3x} = e^3 e^{3(x-1)} \] или \[ f(x) = e^3 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n (x-1)^n}{n!} \] Область сходимости: \( x \in (-\infty, +\infty) \).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку