Разложение функции в ряд Тейлора через разложение

Предмет: Математика (Высшая математика, Раздел — Комплексный анализ или математический анализ)

Задание: Разложение функции \(\ln(z-1)\) в ряд Тейлора через разложение \(\ln(z+1)\).

Для начала разберёмся с разложением функции \(\ln(z + 1)\), так как решение задачи будет опираться на это разложение.

Шаг 1: Разложение \(\ln(z + 1)\)

Известно, что функция \(\ln(z + 1)\) может быть разложена в степенной ряд Тейлора в окрестности \(z = 0\) следующим образом:

\[ \ln(z + 1) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{z^n}{n}, \quad \left|z\right| < 1. \]

Таким образом, ряд имеет вид:

\[ \ln(z + 1) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \dots \]

Теперь нам нужно выразить \(\ln(z - 1)\).

Шаг 2: Изменение функции \(\ln(z-1)\)

Чтобы найти разложение \(\ln(z - 1)\), воспользуемся преобразованием аргумента функции \(\ln\). Заметим, что:

\[ \ln(z - 1) = \ln\left(-(1 - z)\right) = \ln(-1) + \ln(1 - z). \]

Теперь нам нужно разложить \(\ln(1 - z)\) в ряд. Мы можем использовать тот факт, что:

\[ \ln(1 - z) = -\ln(1 + (-z)), \]

что задает разложение с противоположным знаком:

\[ \ln(1 - z) = -\left(z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \dots\right). \]

Подставляя это в выражение для \(\ln(z - 1)\), получим:

\[ \ln(z - 1) = \ln(-1) - z - \frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{3} - \dots \]

Постоянная \(\ln(-1)\) даёт нам \(i\pi\), так как \(\ln(-1)\) в комплексном анализе равна \(i \pi\). Тогда окончательно:

\[ \ln(z - 1) = i\pi - z - \frac{z^2}{2} - \frac{z^3}{3} - \cdots \]

Вывод:

Разложение функции \(\ln(z - 1)\) в ряд Тейлора в точке \(z = 0\) имеет следующий вид:

\[ \ln(z - 1) = i\pi - \left(z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \dots\right). \]

Пояснение:

1. Мы использовали известное разложение для \(\ln(z+1)\).
2. Преобразовали аргументы логарифмов, чтобы прийти к исходной функции \(\ln(z - 1)\).
3. Применили свойства логарифма для отрицательных чисел в комплексной плоскости, что позволило выразить логарифм через \(i \pi\).

На этом задача решена.