Разложение функции f(x) в ряд Фурье на интервале

Предмет: Математика

Раздел предмета: Ряды Фурье, гармонический анализ

Решение задания 2671:

Задание состоит в разложении функции \( f(x) \) в ряд Фурье на интервале \([-π, π]\), определении суммы ряда в точках разрыва и построении графиков.

Условие задачи: \[ f(x) = \begin{cases} c_1, & -π < x \leq 0, \\ c_2, & 0 < x \leq π \end{cases} \]

Шаг 1: Определение коэффициентов ряда Фурье.

Учитывая, что функция кусочно-постоянная, сначала определим коэффициенты \(a_0, a_n\) и \(b_n\).

Определение \(a_0\):

\[ a_0 = \frac{1}{π} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] Так как функция принимает значения \(c_1\) и \(c_2\) в соответствующих интервалах, интеграл можно разделить на две части: \[ a_0 = \frac{1}{π} \left( \int_{-\pi}^{0} c_1 \, dx + \int_{0}^{\pi} c_2 \, dx \right) = \frac{1}{π} \left( c_1 \int_{-\pi}^{0} \, dx + c_2 \int_{0}^{\pi} \, dx \right) = \frac{1}{π} \left( c_1 \cdot 0 - (-\pi) + c_2 \cdot \pi - 0\right) = \frac{1}{π} \left( c_1 \pi + c_2 \pi \right) = c_1 + c_2 \]

Определение \(a_n\):

\[ a_n = \frac{1}{π} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx = \frac{1}{π} \left( \int_{-\pi}^{0} c_1 \cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} c_2 \cos(nx) \, dx \right) = \frac{1}{π} \left( c_1 \int_{-\pi}^{0} \cos(nx) \, dx + c_2 \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx \right) \] Используем свойства четности косинуса: \[ a_n = \frac{1}{π} \left( c_1 \cdot \frac{\sin (nx)}{n} \bigg|_{-\pi}^{0} + c_2 \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \bigg|_{0}^{\pi} \right) = \frac{1}{π} \left( c_1 \cdot \left( \frac{\sin(0) - \sin(-n\pi)}{n} \right) + c_2 \cdot \left( \frac{\sin(n\pi) - \sin(0)}{n} \right) \right) = \frac{1}{π} \left( c_1 \cdot \left( 0 - 0 \right) + c_2 \cdot \left( 0 - 0 \right) \right) = 0 \]

Определение \(b_n\):

\[ b_n = \frac{1}{π} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx = \frac{1}{π} \left( \int_{-\pi}^{0} c_1 \sin(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} c_2 \sin(nx) \, dx \right) = \frac{1}{π} \left( c_1 \int_{-\pi}^{0} \sin(nx) \, dx + c_2 \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \right) \] Используя нечетность синуса: \[ b_n = \frac{1}{π} \left( c_1 \cdot \left( \frac{-\cos(nx)}{n} \bigg|_{-\pi}^{0} \right) + c_2 \cdot \left( \frac{-\cos(nx)}{n} \bigg|_{0}^{\pi} \right) \right) = \frac{-1}{nπ} \left( c_1 \left( \cos(-nπ) - \cos(0) \right) + c_2 \left( \cos(nπ) - \cos(0) \right) \right) = \frac{-1}{nπ} \left( (c_1 + c_2) \left( (-1)^n - 1 \right) \right) \] Таким образом, ненулевые коэффициенты \(b_n\) появляются только для нечетных \(n\): \[ b_n = \frac{-2(c_1 - c_2)}{n\pi}, \quad \text{если } n \text{ нечетное}. \]

Шаг 2: Построение графиков.

График ряда Фурье функции будет выглядеть как периодическое продолжение кусочно-постоянной функции на интервале \([-\pi, \pi]\): \[ f(x) = \frac{c_1 + c_2}{2} + \sum_{\text{нечетное } n} \frac{-2(c_1 - c_2)}{n\pi} \sin(nx) \] График можно построить, нарисовав участок функции \( f(x) \) на интервале \([-\pi, \pi]\) и продолжив его периодически на всей оси x.